Frage:Welche Funktion der folgenden Funktionenschar sitzt auf der positiven -x-Achse? Und wo ist der Berührungspunkt der x-Achse?
f(x)=sin(x)- a x + (e^x);

1 Schar skizzieren

f[x_, a_] := Sin[x] - a x + E^x;
Plot[
        Evaluate[Table[f[x, a], {a, -3, 5}]], {x, -10, 
          5}];

Show[
        GraphicsArray[{Plot[f[x, 1], {x, -10, 5}, 
              DisplayFunction -> Identity], 
            Plot[f[x, 3], {x, -10, 5}, 
              DisplayFunction -> Identity]}], 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction];

Frage: für welches a ist die Ableitung und die Funktion f(x,a)gleichzeitig 0? (D.h. die Funktion sitzt auf der x-Achse!!)

Wert a berechnen:

Remove["Global`*"]

f[x_, a_] := Sin[x] - a x + E^x;

D[f[x, a], x] == 0

solv  =  Solve[
          Evaluate[
            D[f[z, a], z] == 
              0], {a}]// Flatten

Den berechneten Wert a einsetzen. Das Resultat ist eine parameterlose Funktion

f[z, a]

f1[x_] := f[x, a]  /. solv;    f[x]

h[x_] := f1[x] /. z -> x;    h[x]

Plot[Evaluate[ h[x]], {x, -10, 5}];

Berührungspunkt auf der x-Achse

Numerische Approximation mit einbebautem Algorithmus

FindRoot[h[x] == 0, {x, 0}]

FindRoot[h[x] == 0, {x, 1}]

FindRoot[h[x] == 0, {x, 0.5}]

FindRoot[h[x] == 0, {x, 1.5}]

Anwendung der korrigierten Fixpunktmethode

Die Idee der korrigierte Fixpunktmethode: Die Steigung ist zu steil. Die Steigung kann aber durch die Einführung eines Faktors (hier q) geändert werden, ohne dass die Nullstelle ändert!

s[x_] := h[x] + x;  s[x]

Plot[Evaluate[{x, s[x]}], {x, 0, 2}, 
        AspectRatio -> Automatic];

D[s[x], x] /. x -> 1.3

Die Idee der korrigierte Fixpunktmethode

k = 
      0;    h[
        x_] := (-1)^
          k ((E^x) - x ((E^x) + Cos[x]) + 
            Sin[x]);

Plot[Evaluate[ h[x]], {x, -10, 5}];

Plot[Evaluate[D[ h[x], x]], {x, -10, 5}];

Erwartete Zone bei x = 1.7, Ableitung negativ. Ansatz:  q h[x] +x = x bei x = 0  (statt  -q h[x] +x = x)
Wähle k=+/-1 und q klein

u = 1.7;  
    q = 0.1;    s[x_] := q h[x] + x;
Table[v = N[s[u]];  u = v, {n, 1, 40}]

Plot[Evaluate[h[x]], {x, 1.1, 1.2}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Anders

q = t;  D[s[x], x] /. x -> 1.1379503318593436

Solve[1 - 2.5178180178168 t == 0, {t}]

u = 1.5;  
    q = 0.4;    s[x_] := q h[x] + x;
Table[v = N[s[u]];  u = v, {n, 1, 5}]

Plot[Evaluate[h[x]], {x, 1.1, 1.2}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Labor-Bereich

h[x]==0  <---> s[x]= h[x]+x==x

?Nest

s[x_] := h[x] + x;  s[x]

Nest[s, 1, 0]

Nest[s, 1, 1]

Nest[s, x, 2]

Nest[s, 1, 2]

Nest[s, 1, 2] // N

Nest[s, 1, 3] // N

Table[Nest[s, 1, n] // N, {n, 0, 7}]

u = 1;
Table[v = N[s[u]];  u = v;  
        Print[u, "  ",  v], {n, 1, 20}];

Plot[Evaluate[{x, s[x]}], {x, 0, 2}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Plot[Evaluate[D[s[x], x]], {x, 0.5, 1.5}];

(D[s[x], x] /. x -> 1) // N

(D[s[x], x] /. x -> 1.2) // N

(D[s[x], x] /. x -> 1.1379503318593436) // N

Schlechte Konvergenz - keine Konvergenz?

u = 1;
Table[v = N[s[u]];  u = v, {n, 1, 200}]

Korrigierte Fixpunktmethode

Table[v = N[s[u]];  u = (v + u)/2, {n, 1, 200}]

Evaluation der korrigierten Fixpunktmethode auf die Quadratwurzelberechnung

Sqrt[x]==x; x^2==a, x^2-a==0, s[x_]:=x^2-a+x==x;

Sqrt[x]==x; x^2==a, x^2-a==0, q(x^2-a)==0, s[x_]:=q(x^2-a)+x==x;

a = 5;  u = 2;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]];  u = (v + u)/2, {n, 1, 200}]

a = 5;  u = 2;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]];  u = v, {n, 1, 200}]

a = 5;  u = 5/2;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]];  u = v, {n, 1, 50}]

a = 5;  u = 5/2;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]];  u = v/2, {n, 1, 50}]

a = 5;  u1 = 5/2; u2 = 3/2;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v1 = N[s[u1]]; v2 = N[s[u2]];  u1 = (u1 + u2)/2;  
      u2 = (v1 + v2)/2, {n, 1, 50}]

a = 5;  u = 5;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = -2 u   + N[s[u]]; u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 5;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = -4 u   + N[s[u]]; u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 5;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = -4.5 u   + N[s[u]]; u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 5;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = (u^2/N[s[u]] + N[s[u]]^2/u)/2; 
      u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 3;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = (N[s[u]] + 0.05/N[s[u]])/3; 
      u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 3;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]]/3; u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 2.5;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]]/3; u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 3;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]]/2.5; u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 2.5;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v = N[s[u]]/2.5; u = v, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 2.5;  q = 0.67;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v =  N[s[u]]; u = v q, {n, 0, 50}]

a = 5;  u = 2.5;  q = 0.66;
s[x_] := x^2 - a + x;
Table[v =  N[s[u]]; u = v q, {n, 0, 50}]

a = 3;  u = 0.5; 
s[x_] := 1/(x^2 - a + 1) + x - 1;
Table[v =  N[s[u]]; u = v , {n, 0, 50}]

a = 3;  u = 0.5;  q = 0.5;
s[x_] := q (x^2 - a) + x;
Table[v =  N[s[u]]; u = v , {n, 0, 50}]

a = 3;  u = 0.5;  q = 0.4;
s[x_] := q (x^2 - a) + x;
Table[v =  N[s[u]]; u = v , {n, 0, 50}]

a = 3;  u = 1.8;  q = 0.1;
s[x_] := q (x^2 - a) + x;
Table[v =  N[s[u]]; u = v , {n, 0, 50}]

a = 3;  u = 1.8;  q = 0.1;
s[x_] := -q (x^2 - a) + x;
Table[v =  N[s[u]]; u = v , {n, 0, 50}]

Sqrt[3] // N

a = 3;  u = 0.5;  q = 0.1;
s[x_] := q (x^2 - a) - x;
Table[v =  N[s[u]]; u = v , {n, 0, 220}]

s[x_] := (x^2 - a) + x;

Plot[{s[u] - u}, {u, -2, 2}];

Plot[{u, s[u]}, {u, -2, 2}];

Plot[s[u], {u, -3, 2}];

Anwendung der korrigierten Fixpunktmethode

k = 
      0;    h[
        x_] := (-1)^
          k ((E^x) - x ((E^x) + Cos[x]) + 
            Sin[x]);

Plot[Evaluate[ h[x]], {x, -10, 5}];

Plot[Evaluate[D[ h[x], x]], {x, -10, 5}];

Erwartete Zone bei x = 1.7, Ableitung negativ. Ansatz:  q h[x] +x = x bei x = 0  (statt  -q h[x] +x = x)
Wähle k=+/-1 und q klein

u = 1.7;  
    q = 0.1;    s[x_] := q h[x] + x;
Table[v = N[s[u]];  u = v, {n, 1, 100}]

Gewonnen!

Iteration, Banachscher Fixpunktsatz

Solve[x == 3 Sqrt[x - 1], {x}]

f[x_] := 3 Sqrt[x - 1];
Plot[{x, f[x]}, {x, 0, 8.5}, AspectRatio -> Auromatic, 
        Epilog -> {Line[{{3, 0}, {3, f[3]}, {f[3], f[3]}, {f[3], 
                  f[f[3]]}, {f[f[3]], f[f[3]]}, {f[f[3]], 
                  f[f[f[3]]]}, {f[f[f[3]]], f[f[f[3]]]}, {f[f[f[3]]], 
                  f[f[f[f[3]]]]}, {f[f[f[f[3]]]], 
                  f[f[f[f[3]]]]}, {f[f[f[f[3]]]], 
                  f[f[f[f[f[3]]]]]}, {f[f[f[f[f[3]]]]], 
                  f[f[f[f[f[3]]]]]}, {f[f[f[f[f[3]]]]], 
                  f[f[f[f[f[f[3]]]]]]}, {f[f[f[f[f[f[3]]]]]], 
                  f[f[f[f[f[f[3]]]]]]}}], PointSize[0.02], 
            Point[{(3/2) (3 + (Sqrt[5])), 
                f[(3/2) (3 + (Sqrt[5]))]}]}];

Hasen und Füchse

Remove["Global`*"]

B = {{3.5, -25}, {0.05, 0.5}};
B // MatrixForm

B = {{7/2, -25}, {5/100, 5/10}};

Eigenvalues[B]

Eigenvectors[B]

Eigensystem[B]

x[1] = 25; y[1] = 1;
x[
          n_] := (B . {x[n - 1], 
                y[n - 1]})[[1]];
y[n_] := (B . {x[n - 1], y[n - 1]})[[2]];

{x[1], y[1]}

{x[2], y[2]} // N

Table[{k, x[k], y[k]}, {k, 1, 17}] // N // MatrixForm