Beispiele zu Laplace-Transformationen und Differentialgleichungen

1   Schwingungsgleichungen

a Interpretation der Parameter: Angelegenheit der Physik oder der technischen Mechanik. Wichtig: Bei einer eindimensional gereichteten Bewegung kann z.B. m eine Masse bedeuten, d eine Dämpfungskonstante und k eine Federkonstante. Bei einer Drehbewegung wäre entsprechend Statt m das Massenträgheitsmoment I oder J zu setzen etc.
D wäre im ersten Fall eine auf die Feder und die Masse bezogenes Dämpfungsmass und (Subscript[ω, D])eine Kreisfrequenz, welche in der Lösung erscheint.

Remove["Global`*"]

b   m y''[t]+d y'[t]+k y[t] = 0, y[0]->y0,y'[0]->b

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[m y''[t]+d y'[t]+k y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->y0,y'[0]->b}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

(* Allgemeine Lösung bei freier Schwingung! *)

c    m y''[t]+d y'[t]+k y[t] = 0,  y[0]->0,y'[0]->b

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[m y''[t]+d y'[t]+k y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->b}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

(* Allgemeine Lösung bei freier Schwingung! *)

d   y''[t]+1/2 y'[t]+1 y[t] = 0,  y[0]->0,y'[0]->1

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+1/2 y'[t]+1 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->1}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[u0[t],{t,0,15}];

e    y''[t]+1/2 y'[t]-1 y[t] = 0,   y[0]->0,y'[0]->1

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+1/2 y'[t]-1 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->1}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

u0[t]//Expand//N

Plot[u0[t],{t,0,10}];

(* ===> Explosion *)

f   m y''[t]+d y'[t]+k y[t] = DiracDelta[t],  y[0]->0,y'[0]->0

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[m y''[t]+d y'[t]+k y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[DiracDelta[t] ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

g   y''[t]+1/2 y'[t]+1 y[t] = DiracDelta[t],  y[0]->0,y'[0]->0

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+1/2 y'[t]+1 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[DiracDelta[t] ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[u0[t],{t,0,15}];

h   m y''[t]+d y'[t]+k y[t] = A Sin[ω t+ φ],   y[0]->0,y'[0]->0

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[m y''[t]+d y'[t]+k y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[A Sin[ω t+ φ] ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

i   m y''[t]+d y'[t]+k y[t] = A Sin[ω t],   y[0]->0,y'[0]->0

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[m y''[t]+d y'[t]+k y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[A Sin[ω t] ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

u0[t]//Expand

j   y''[t]+d y'[t]+k y[t] = A Sin[ω t],   y[0]->0,y'[0]->0

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+d y'[t]+k y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[A Sin[ω t] ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

k   y''[t]+d y'[t]+k y[t] = A Sin[ω t],   y[0]->0,y'[0]->0,d->2 Sqrt[k]

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+d y'[t]+k y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0,d->2 Sqrt[k]}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[A Sin[ω t] ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]/.d->2 Sqrt[k]

l, m    Untersuchung eines auftauchenden Terms

solv=Solve[ω^4+(d^2-2 k)ω^2+k^2==0,{ω}]//Simplify //Flatten

solv[[3]]

ωϵ1[ϵ_] := ω + ϵ /. 
        solv[[1]];  ωϵ1[ϵ]

ωϵ2[ϵ_]:=ω+ϵ/.solv[[2]]; ωϵ2[ϵ]

(* Fall mit den meisten positiven Anteilen unter Wurzeln *)

ωϵ2[0]//FullSimplify

ωϵ2[0]//FullSimplify//InputForm

(* (d*(-d + Sqrt[d^2 - 4*k]))/2 ist für positive k negativ *)

Solve[(d*(-d + Sqrt[d^2 - 4*k]))/2 + k == 0,{k}]

(* ωϵ2[0] ist daher nie positiv *)

ωϵ2[0]/Sqrt[d^2]//PowerExpand

ωϵ3[ϵ_]:=ω+ϵ/.solv[[3]]; ωϵ3[ϵ]

ωϵ4[ϵ_]:=ω+ϵ/.solv[[4]]; ωϵ4[ϵ]

n    y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t] = 0,   y[0]->1,y'[0]->0

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->1,y'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]/.d->2 Sqrt[k]

o1    y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t]= 0,   y[0]->1,y'[0]->0,q->1, ω0->1/2

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->1,y'[0]->0,q->1, ω0->1/2}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[u0[t],{t,0,10}];

o2   y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t] = 0,    y[0]->1,y'[0]->0,q->1, ω0->1

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->1,y'[0]->0,q->1, ω0->1}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[u0[t],{t,0,10}];

o3   y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t] = 0,    y[0]->1,y'[0]->0,q->1/2, ω0->1

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+ 2q y'[t]+ω0^2 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->1,y'[0]->0,q->1/2, ω0->1}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[0 ,t,s]

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Y[s]/. solv;  U1[s]

U[s]:=(U1[s]//Apart)/.Sign[ω]->1

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[u0[t],{t,0,10}];

p

Eigene Experimente....

q    y''[t]+ 2*1 y'[t]+2^2 y[t] = Sin[ω t],    y[0]->1,y'[0]->0

Remove["Global`*"]

1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[1 y''[t]+ 2*1 y'[t]+2^2 y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->1,y'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[Sin[ω t] ,t,s]/.Sign[ω]->1

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

5. Konstant schwingender Term isolieren, herausrechnen, Plot der Amplitude als Funtion der Frequenz

col1=Collect[Evaluate[u0[t]/.{Sin[ω t]->x,Sin[Sqrt[3] t]->x^2,Cos[ω t]->x^3,Cos[Sqrt[3] t]->x^4}],{x,x^2,x^3,x^4}];
col1

col2 =((col1)/.{x->Sin[ω t],x^2->Sin[Sqrt[3] t],x^3->Cos[ω t],x^4->Cos[Sqrt[3] t], Sqrt[ω^2]->ω})// Cancel

col3 = col2/. {E^(-t)->0, Sqrt[ω^2]->ω}

col4 = col3/. {Cos[ω t]->1, Sin[t ω]->0}

col5 = col3/. {Cos[ω t]->0, Sin[t ω]->1}

cω1 = col4/Sqrt[col4^2+col5^2]//Simplify

cω2 = col5/Sqrt[col4^2+col5^2]//Simplify

schwing = -(Sqrt[col4^2+col5^2](Sin[α] Cos[ω t]+Cos[α] Sin[t ω])//Simplify)/. α->ArcSin[cω1]

aml=-Sqrt[col4^2+col5^2]//Simplify

aml//InputForm

amplitude[ω_]:=1/Sqrt[16 - 4*ω^2 + ω^4]

Plot[amplitude[ω],{ω,0,10}];

Solve[D[amplitude[x],x]==0,{x}]

N[%]

6. Bemerkung: Die Amplitudenformel gibt dasselbe Resultat:

Sqrt[2^2-2*1^2]//N

2   Systeme: Beispiel mit gekoppelten Pendeln

a Wir betrachten hier das gekoppelte Pendel. Zwei durch eine Feder mit der Federkonstanten k verbundene Massen sind an gleichlangen Stangen aufgehängt, welche wir als gewichtslos annehmen. φ1, φ2 sind die Auschlagswinkel. Diese nehmen wir als klein an, sodass  L * sin(φ(t)) den Ausschlag  y(t) approximiert und die Höhenänderung einer Masse etwa konstant ist. Nun stellen wir durch Betrachtung der durch die Massen verursachten Drehmomente eine Gleichungen auf:

Rücktreibende Kraft infolge Auslenkung  =- m g sin(φ2) ≈ - m g φ2 
Rücktreibendes Moment infolge Auslenkung = - L m g sin(φ2) ≈ - L m g φ2 
Federkraft = k L sin(φ2) ≈ k L φ2 
Entgegengesetzt wirkendes Moment der Feder ≈ - L k L φ2 = - k L^2 φ2
Kompensation dieses Moments durch das andere Pendel: k L^2 φ1
Gleichgewicht mit "Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung" = (m L^2) φ2''

Gleichung für das zweite Pendel: 
(m L^2) φ2'' = - L m g φ2 - k L^2 φ2 + k L^2 φ1

Gleichung für das erste Pendel: 
(m L^2) φ1'' = - L m g φ1 - k L^2 φ1 + k L^2 φ2

Anfangsbedingungen:
φ1(0) =a,  φ1'(0) = 0, φ2(0) = φ2'(0) = 0

Erhaltenes System:
{
φ2''[t] + g/L φ2[t] - k/m φ2[t] + k/m φ1[t] == 0,
φ1''[t] + g/L φ1[t] - k/m φ1[t] + k/m φ2[t] == 0,
φ1[0] == a,; φ1'[0] == 0, φ2[0] == 0, φ2'[0] == 0
}

1. 1. Gleichung, linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

Remove["Global`*"]

links1 = LaplaceTransform[φ2''[t] + g/L φ2[t] - k/m φ2[t] + k/m φ1[t], t,s] /. {LaplaceTransform[φ1[t],t,s]->Φ1[s], LaplaceTransform[φ2[t],t,s]->Φ2[s], φ1[0]->a, φ1'[0]->0, φ2[0]->0, φ2'[0]->0}

links2 = LaplaceTransform[φ1''[t] + g/L φ1[t] - k/m φ1[t] + k/m φ2[t], t,s] /. {LaplaceTransform[φ1[t],t,s]->Φ1[s], LaplaceTransform[φ2[t],t,s]->Φ2[s], φ1[0]->a, φ1'[0]->0, φ2[0]->0, φ2'[0]->0}

2. Rechte Seite transformieren

rechts1 = LaplaceTransform[0 ,t,s]

rechts2 = LaplaceTransform[0 ,t,s]

links1==rechts1

links2==rechts2

3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[{links1==rechts1, links2==rechts2},{Φ1[s],Φ2[s]}] // Flatten

4. Rücktransformation

U1[s]:=Φ1[s]/. solv[[1]];  U1[s]

U1[s]//Apart

u1[t_]:=InverseLaplaceTransform[U1[s],s,t]//Simplify; u1[t]

U2[s]:=Φ2[s]/. solv[[2]];  U2[s]

U2[s]//Apart

u2[t_]:=InverseLaplaceTransform[U2[s],s,t]//Simplify; u2[t]

4. Plots

u1P[t]:=u1[t]/. {g -> 10, m->1, L->1, k->1, a->1}; u1P[t]

u2P[t]:=u2[t]/. {g -> 10, m->1, L->1, k->1, a->1}; u2P[t]

Plot[Evaluate[u1P[t]],{t,0,22}];

Plot[Evaluate[u2P[t]],{t,0,22}];

4. Progamm

Remove["Global`*"];
links1 = LaplaceTransform[φ2''[t] + g/L φ2[t] - k/m φ2[t] + k/m φ1[t], t,s] /. {LaplaceTransform[φ1[t],t,s]->Φ1[s], LaplaceTransform[φ2[t],t,s]->Φ2[s], φ1[0]->a, φ1'[0]->0, φ2[0]->0, φ2'[0]->0};
links2 = LaplaceTransform[φ1''[t] + g/L φ1[t] - k/m φ1[t] + k/m φ2[t], t,s] /. {LaplaceTransform[φ1[t],t,s]->Φ1[s], LaplaceTransform[φ2[t],t,s]->Φ2[s], φ1[0]->a, φ1'[0]->0, φ2[0]->0, φ2'[0]->0};
solv=Solve[{links1==0, links2==0},{Φ1[s],Φ2[s]}] // Flatten;
U1[s]:=Φ1[s]/. solv[[1]];
U2[s]:=Φ2[s]/. solv[[2]];
u1[t_]:=InverseLaplaceTransform[U1[s],s,t]//Simplify; Print["u1(t) = ",u1[t]];
u2[t_]:=InverseLaplaceTransform[U2[s],s,t]//Simplify; Print["u2(t) = ",u2[t]];
u1P[t]:=Re[u1[t]]/. {g -> 10, m->1, L->1, k->1, a->1}; 
u2P[t]:=Re[u2[t]]/. {g -> 10, m->1, L->1, k->1, a->1};
Plot[Evaluate[u1P[t]],{t,0,22}];
Plot[Evaluate[u2P[t]],{t,0,22}];