Schläuche M2p 2010

Teils nur lauffähig ab Version 7.0

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 ==> Arbeit von S. Iseli
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x[t_] := Cos[2*t]; y[t_] := Sin[2*t]; 
    z[t_] := t; 
a[t_, f_] := 1; b[t_, f_] := 1; 
v[t_] := {x[t], y[t], z[t]}; 
kp[t_] := 
      Sqrt[((v''[t] . v''[t]) (v'[t] . v'[
                      t]) - (v'[t] . v''[t])^2)/((v'[
                    t]) . (v'[t]))^3]
tT[t_] := v'[t]/
        Sqrt[v'[t] . v'[t]]; 
nN[t_] := 
      1/kp[t] 1/
          Sqrt[v'[t] . v'[t]] D[v'[t]/
            Sqrt[v'[t] . v'[t]], t]; 
bB[t_] := Cross[tT[t], nN[t]]; 
w[t_, f_] := 
      v[t] + a[t, f] Cos[f] nN[t] + 
        b[t, f] Sin[f] bB[t]; 
ParametricPlot3D[
      Evaluate[w[t, f]], {t, 0, 2  Pi}, {f, 0, 2  Pi}]

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 ==> Arbeit von Reusser + Rytz
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r[t_] := {3*t*Cos[2*Pi*t], 3*t*Sin[2*Pi*t], 
          t*Cos[8*Pi*t]};
ParametricPlot3D[r[t], {t, 1, 3}]
v[t_] = D[r[t], t];
vn[t_] = 
        v[t]/Sqrt[(v[t] . {1, 0, 0})^2 + (v[t] . {0, 1, 0})^2 + (v[
                      t] . {0, 0, 1})^2];
a[t_] = D[vn[t], t];
an[t_] = 
        a[t]/Sqrt[(a[t] . {1, 0, 0})^2 + (a[t] . {0, 1, 0})^2 + (a[
                      t] . {0, 0, 1})^2];
b[t_] = Cross[vn[t], an[t]];
d[t_] =  .025*(12 + 6*t + (2 + t)*Cos[30*Pi*t]);
s[t_, p_] = r[t] + d[t]*(an[t]*Cos[p] + b[t]*Sin[p]);
ParametricPlot3D[s[t, p], {t, 1, 3}, {p, 0, 2*Pi}, 
      MaxRecursion -> 4, 
      PlotStyle -> {Orange, Specularity[White, 10]}, Axes -> None, 
      Mesh -> None, PlotPoints -> 30]

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 ==> Arbeit von Leumann + von Kaenel
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r[t_] := {6*Sin[t] * 0.25*t, 3*Cos[t] * 0.25 * t, 
          2*t};
v[t_] = D[r[t], t];
vn[t_] = 
        v[t]/Sqrt[(v[t] . {1, 0, 0})^2 + (v[t] . {0, 1, 0})^2 + (v[
                      t] . {0, 0, 1})^2];
a[t_] = D[vn[t], t];
an[t_] = 
        a[t]/Sqrt[(a[t] . {1, 0, 0})^2 + (a[t] . {0, 1, 0})^2 + (a[
                      t] . {0, 0, 1})^2];
b[t_] = Cross[vn[t], an[t]];
d[t_] =  .025*(14 + 2*t + (2 + t)*Cos[3*Pi*t]);
s[t_, p_] = r[t] + d[t]*(an[t]*Cos[p] + b[t]*Sin[p]);
ParametricPlot3D[s[t, p], {t, 1, 15}, {p, 0, 2*Pi}, 
      PlotPoints -> 30]

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 ==> Arbeit von D. Suter / P. Tringaniello
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Differentialgeometrie :  Kurven
Entwickeln eines Schlauches
Klasse M2p ' 09
Suter Dominik / Tringaniello Pasquale

ParametricPlot3D[{{-t*Sin[t/2], t*Cos[t], t*Sin[t]}}, {t, 3, 
        7  Pi}]

\(\(\(
\)\(
\)\(\(x[t_] = \(-t\)*
          Sin[t/2]; y[t_] := t*Cos[t]; 
      z[t_] := t*Sin[t]; \)
\(a[t_, f_] := 1 + Abs[Cos[t]] + 1; 
      b[t_, f_] := 
        1 + Abs[Cos[t]]; \)
\(v[t_] := {x[t], y[t], z[t]}; \)
\(kp[t_] := 
        Sqrt[\((\((\(v''\)[t] . \(v''\)[t])\) \((\(v'\)[t] . \(v'\)[
                        t])\) - \((\(v'\)[t] . \(v''\)[
                        t])\)^2)\)/\((\((\(v'\)[t])\) . \((\(v'\)[
                      t])\))\)^3]; \)
\(tT[t_] := \(v'\)[t]/
          Sqrt[\(v'\)[t] . \(v'\)[t]]; \)
\(nN[t_] := 
        1/kp[t]\ *\ 
          1/Sqrt[\(v'\)[t] . \(v'\)[t]]\ D[\(v'\)[t]/
              Sqrt[\(v'\)[t] . \(v'\)[t]], t]; \)
\(bB[t_] := 
        Cross[tT[t], nN[t]]; \)
\(w[t_, f_] := 
        v[t] + a[t, f]\ Cos[f]\ nN[t] + 
          b[t, f]\ Sin[f]\ bB[
              t]; \)
 (*Plot*) 
ParametricPlot3D[
        Evaluate[w[t, f]], {t, 3, 7  Pi}, {f, 0, 4  Pi}]\)\)\)

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 ==> Arbeit von A. Zurbruegg
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a

x[t_] := 0.2 t Sin[t];

y[t_] := 0.2 t Cos[t];

z[t_] := 
      t^1.5 (E^(-0.1 t)); 
x1 := 10  Pi

x2 := 2  Pi

r1[t_] := {x[t], y[t], z[t]};

ParametricPlot3D[r1[t], {t, 0, x1}]

ra1[t_, f_] =  .5 
         t^(1/2) (Abs[0.5 Sin[5  t]] + 0.1);

w[t_, f_] := 
      r1[t] + ra1[t] Sin[f] {1, 0, 0} + ra1[t] Cos[f] {0, 2, 0};

ParametricPlot3D[
      Evaluate[w[t, f]], {t, 0, 4}, {f, 0, 2  Pi}];

vt[t_] := Normalize[r1'[t]]

vt[t];

kr[t_] := 
      Sqrt[((r1''[t] . r1''[t]) (r1'[t] . r1'[
                      t]) - (r1'[t] . r1''[
                      t])^2)/((r1'[t]) . (r1'[
                    t]))^3]; 
kr[t];

nN[t_] := 
      1/kr[t] 1/
          Sqrt[r1'[t] . r1'[t]] D[r1'[t]/
            Sqrt[r1'[t] . r1'[t]], t]; 
nN[t];

bB[t_] := Cross[vt[t], nN[t]]; 
bB[t];

w[t_, f_] := 
      r1[t] + ra1[t, f] Sin[f] nN[t] + 
        ra1[t, f] Cos[f] bB[t]; 
ParametricPlot3D[Evaluate[w[t, f]], {t, 0, x1}, {f, 0, x2}, 
      PlotPoints -> 80]

b

x[t_] := 0.2 t Sin[t];

y[t_] := 0.2 t Cos[t];

z[t_] := 
        t^1.5 (E^(-0.1 t));
x1 := 10  Pi

x2 := 2  Pi

r1[t_] := {x[t], y[t], z[t]};

ParametricPlot3D[r1[t], {t, 0, x1}]

ra1[t_, f_] =  .5 
           t^(1/2) (Abs[0.5 Sin[5  t]] + 0.1);

w[t_, f_] := 
        r1[t] + ra1[t] Sin[f] {1, 0, 0} + 
          ra1[t] Cos[f] {0, 2, 0};

vt[t_] := r1'[t] * 
          1/ Norm[
              Evaluate[r1'[
                  t]]] ;

kr[t_] := 
        Sqrt[((r1''[t] . r1''[t]) (r1'[t] . r1'[
                        t]) - (r1'[t] . r1''[
                        t])^2)/((r1'[t]) . (r1'[
                      t]))^3];

nN[t_] := 
        1/kr[t] 1/
            Sqrt[r1'[t] . r1'[t]] D[r1'[t]/
              Sqrt[r1'[t] . r1'[t]], t];

bB[t_] := Cross[vt[t], nN[t]];

w[t_, f_] := 
        r1[t] + ra1[t, f] Sin[f] nN[t] + ra1[t, f] Cos[f] bB[t];

ParametricPlot3D[Evaluate[w[t, f]], {t, 0, x1}, {f, 0, x2}, 
        PlotPoints -> 80];

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 ==> Arbeit von R. Sansoni + D. Hirschi
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Mathemathik 1.
Zeichnen eines Schlauches mit einem Mathematikprogramm

17.11.2010

Remo Sansoni
Daniel Hirschi

Klasse M2p

1. Entwicklung einer 3D Kurve

Prinzip :

Die Grundidee zum Zeichnen eines Schlauches ist, eine Kurve um eine Kurve zu "wickeln". Als erstes bestimmen wir eine Funktion, welche dem Schlauch seinen Pfad gibt. Unten ein einfaches Beispiel einer Spiralförmigen Kurve.

ParametricPlot3D[{t/10*Sin[t], t/10*Cos[t], t/7}, {t, 0, 4  Pi}, 
      Background -> White, PlotStyle -> Black]

Gewählte Funktion:

Statt einer Spirale, wählten wir eine etwas interessantere Kurve.

x[t_] := t/8*Sin[t];
y[t_] := t/8*Cos[t];
z[t_] := Sin[t];
v[t_] := {x[t], y[t], z[t]};
ParametricPlot3D[v[t], {t, -4 Pi, 4  Pi}, Background -> White, 
      PlotStyle -> Black]

2. Kreisfunktion um die Kurve

Jetzt muss noch eine weitere Kurve um unsere Kurve kreisen, damit es einen dreidimensionalen Schlauch ergibt. Quasi Eine Funktion abhängig von einer Variablen t und einer weiteren Funktion, welche ebenfalls von t abhängig ist. Im einfachsten Fall ist das natürlich eine Kreisfunktion. Wir haben uns aber entschieden, den Schlauch mittels Sinusfunktion periodisch zu vergrössern und wieder zu verengen.

Kreisfunktionsparameter bestimmen :

a[t_, f_] := 0.1 + 0.15*Abs[Sin[t]];
b[t_, f_] := 0.1 + 0.15*Abs[Sin[t]];

Krümmung:

tT[t_] := v'[t]/Sqrt[v'[t] . v'[t]]
K[t_] := 
      Sqrt[((v''[t] . v''[t])*(v'[t] . v'[
                      t]) - (v'[t] . v''[t])^2)/(v'[
                  t] . v'[t])^3]
nN[t_] := 
      1/K[t]*1/Sqrt[v'[t] . v'[t]]*
        D[v'[t]/Sqrt[v'[t] . v'[t]], t]
bB[t_] := Cross[tT[t], nN[t]];

Funktion W[t, f]:

W[t_, f_] := 
        v[t] + a[t, f]*Cos[f]*nN[t] + 
          b[t, f]*Sin[f]*bB[t];

3. Darstellung der Kurve :

ParametricPlot3D[
      Evaluate[W[t, f]], {t, -4 Pi, 4  Pi}, {f, 0, 2  Pi}, 
      PlotStyle ->  Opacity[0.7], Mesh ->  10, 
      PlotPoints -> 90]

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 ==> Arbeit von A. Bertolino + R. Michel + A. Ziegler
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1. Konstruktion eines Schlauches    (Mathematik 1)
(Gruppe: Bertolino Antonio, Roland Michel, Andreas Ziegler)           M2P         1.11.2010

x[t_] = 3  Cos[t *Pi] + 7; y[t_] :=  -2 Sin[t] + 10; 
    z[t_] := Sin[t] 2  Cos[t]; 
a[t_, f_] := 
      0.2`; b[t_, f_] := 
      0.3`; 
v[t_] := {x[t], y[t], 
        z[t]}; 
kp[t_]:=(Sqrt[((v''[t].v''[t] v'[t].v'[t]-(((v'[t].v''[t]))^2))/(((v'[t].v'[t]))^3))]);
tT[t_]:=((v'[t])/(Sqrt[v'[t].v'[t]]));
nN[t_]:=(((∂_t)((v'[t])/(Sqrt[v'[t].v'[t]])))/(kp[t] (Sqrt[v'[t].v'[t]])));
bB[t_] := 
      tT[t]\[Cross]nN[t]; 
w[t_, f_] := 
      v[t] + a[t, f] Cos[f] nN[t] + 
        b[t, f] Sin[f] bB[t]; 
ParametricPlot3D[
        Evaluate[w[t, f]], {t, 0.5, 2 Pi}, {f, 0, 5 Pi}, 
        ViewPoint -> {-1.636`, -1.512`, 2.547`}]

u[
          t_] := 3  Cos[t*Pi] + 7;  v[t_] := -2 Sin[t] + 10;  
      w[t_] := 2  Cos[t]*Sin[t];  
p[t_] := {u[t], 
          v[t], w[t]}; 
ParametricPlot3D[
        p[t], {t, 0, 2  Pi}]

2. Konstruktion eines Schlauches  (Mathematik 1)
(Gruppe: Bertolino Antonio, Roland Michel, Andreas Ziegler)                      M2P         1.11.2010

x[t_] = 1  Cos[t *Pi]; y[t_] :=  -2 Sin[t - Pi]; 
    z[t_] := Sin[t] Cos[t]; 
a[t_, f_] := 0.2`; 
    b[t_, f_] := 
      0.5`; 
v[t_] := {x[t], y[t], 
        z[t]}; 
kp[t_]:=(Sqrt[((v''[t].v''[t] v'[t].v'[t]-(((v'[t].v''[t]))^2))/(((v'[t].v'[t]))^3))]);
tT[t_]:=((v'[t])/(Sqrt[v'[t].v'[t]]));
nN[t_]:=(((∂_t)((v'[t])/(Sqrt[v'[t].v'[t]])))/(kp[t] (Sqrt[v'[t].v'[t]])));
bB[t_] := 
      tT[t]\[Cross]nN[t]; 
w[t_, f_] := 
      v[t] + a[t, f] Cos[f] nN[t] + 
        b[t, f] Sin[f] bB[t]; 
ParametricPlot3D[
      Evaluate[w[t, f]], {t, 0, 2 Pi}, {f, 0, 2 Pi}, 
      ViewPoint -> {-1.636`, -1.512`, 
          
          2.547`}]
Remove["Global`*"]; 
x[t_] :=  1  Cos[t*Pi]; 
    y[t_] :=  -2 Sin[t - Pi]; 
    z[t_] := Sin[t] Cos[t]; 
a[t_, f_] := Cos[ t]; b[t_, f_] := Sin[3 t];

u[
          t_] = 1  Cos[t*Pi];  v[t_] := -2 Sin[t - Pi];  
      w[t_] := Cos[t]*Sin[t];  
p[t_] := {u[t], v[t], 
          w[t]}; 
ParametricPlot3D[
        p[t], {t, 0, 2  Pi}]

3. Konstruktion eines Schlauches  (Mathematik 1)
(Gruppe: Bertolino Antonio, Roland Michel, Andreas Ziegler)             M2P         1.11.2010

x[t_] = Cos[t *Pi] + 7; y[t_] :=  -2 Sin[t*Pi] - 4; 
    z[t_] := 2  Sin[t]*6  Cos[t]; 
a[t_, f_] := 
      0.2`; b[t_, f_] := 
      0.2`; 
v[t_] := {x[t], y[t], 
        z[t]}; 
kp[t_]:=(Sqrt[((v''[t].v''[t] v'[t].v'[t]-(((v'[t].v''[t]))^2))/(((v'[t].v'[t]))^3))]);
tT[t_]:=((v'[t])/(Sqrt[v'[t].v'[t]]));
nN[t_]:=(((∂_t)((v'[t])/(Sqrt[v'[t].v'[t]])))/(kp[t] (Sqrt[v'[t].v'[t]])));
bB[t_] := 
      tT[t]\[Cross]nN[t]; 
w[t_, f_] := 
      v[t] + a[t, f] Cos[f] nN[t] + 
        b[t, f] Sin[f] bB[t]; 
ParametricPlot3D[
        Evaluate[w[t, f]], {t, 0, 2 Pi}, {f, 0, 2 Pi}, 
        ViewPoint -> {-1.636`, -1.512`, 2.547`}]

u[
          t_] = Cos[t*Pi] + 7;  v[t_] := -2 Sin[t*Pi] - 4;  
      w[t_] := 2  Cos[t]*6  Sin[t];  
p[t_] := {u[t], 
          v[t], w[t]}; 
ParametricPlot3D[
        p[t], {t, 0, 2  Pi}]