Lösungen

1

Assoziativgesetz, Existenz des Nullelements, Existenz des Inversen, Kommutativgesetz, Assoziativität mit Skalaren, Distributivität

2

a={2,1,1}; b={1,4,3}; c={3,2,-2};
v = a-b+3c

Norm[v]

Norm[v] // N

Vektorlänge 13.1529 = (Sqrt[173])

3

F1={-2,-1,-1}; F2={-1,-4,-3}; 
a={0,1,1}; b={1,4,2}; c={2,0,1};
Solve[F1+F2==λ a+ μ b + ν c, {λ, μ, ν}]

F1+F2

Es gilt: R = F1+F2 = (-1) a +  (-1) b +  (-1) c

4

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5

Kommutativgesetz, Orthogonalitätsgesetz, Distributivität Assoziativität mit Skalaren

6

a

a={-2,-1,-1}; b={-1,-4,-3};
a.b

ϕ  =  ArcCos[a . b / (Norm[a] Norm[b])]

ϕ = ArcCos[a.b / (Norm[a] Norm[b])] // N

ϕ / Degree

Winkel 43.8979 Grad

b

a={-2,-1,-1}; b={-1,-4,z};
a.b

ba  =  a . b /Norm[a]

ba == 2

Solve[ba == 2, {z}]

Solve[ba == 2, {z}] // N

z = (Sqrt[6]) (-2 + (Sqrt[6])) , etwa 1.10102

7

d={1,1,1};
k1={1,0,0};
k2={1,1,0} - k1;
k3=d-{1,1,0};
{k1,k2,k3}

proj1 = d.k1/Norm[d]

proj1 //  N

proj2 = d.k2/Norm[d]

proj1 //  N

proj2 = d.k2/Norm[d]

proj2 //  N

proj3 = d.k3/Norm[d]

proj3 //  N

Alle Projektionen haben die Längen (1/(Sqrt[3])), ungefähr 0.57735

8 Maschinenrechnung mit schnellen Hilfsmitteln, welche noch nicht besprochen sind (bitte nur Resultate beachten)

Remove["Global`*"]

Mögliche Ecken von T1:

d[φ_]:={{Cos[φ],-Sin[φ],0},{Sin[φ],Cos[φ],0},{0,0,1}};
d[φ]//MatrixForm

e1={1,0,0};

e2=d[120 Degree].e1

e3=d[240 Degree].e1

h=3/2 Norm[e1]

h=Sqrt[Norm[e2-e1]^2-(Norm[e2-e1]/2)^2]

e4={0,0,h}

Ecken von T2:

t1=(e2+e3+e4)/3

t2=(e1+e3+e4)/3

t3=(e1+e2+e4)/3

t4=(e1+e2+e3)/3

Zachenhöhe: Länge der Projektion von e4-t1 auf e4

h1=(e4-t1).e4/Norm[e4]

Die Zachenhöhe ist 1

h1/h

Sternvolumen: Volumen des inneren Tetraeders plus 4 Zackenvolumina

VaeusseresTetraeder=Det[{e4-e1,e4-e2,e4-e3}]/6

%//N

VinneresTetraeder=Det[{t4-t1,t4-t2,t4-t3}]/6 // Abs

%//N

Vzacken = Norm[Cross[t3-t1,t4-t1]] /2 *h1 /3

%//N

VStern=VinneresTetraeder+4 Vzacken

%//N

VStern/VaeusseresTetraeder

%//N

VStern/VaeusseresTetraeder 100 // N

Das Sternvolumen ist ca. 34.9361 % des Tetraedervolumens