Lösungen

Teil I: Wiederholung Matrizen und Eigenwertprobleme

I/1  Matrizenrechnung

Remove["Global`*"]

a

A = {{1,2,3},{3,5,6},{4,5,6}}; A//MatrixForm

A1=Inverse[A]; A1 //MatrixForm

Det[A]

Det[A1]

b

e1={1,0,0}; e2={0,1,0}; e3={0,0,1};
A.e1

A.e2

A.e3

Spalten von A

c

A1.e1

A1.e2

A1.e3

Spalten der Inversen von A

I/2  Eigenwerte, Eigenvektoren

Remove["Global`*"]

a

A = {{1, 2}, {2, 3}};  A // MatrixForm

Det[A]

b1

A1=Inverse[A]; A1//MatrixForm

EM=IdentityMatrix[2]; EM//MatrixForm

Det[A-λ EM]

A xVec = λ xVec= λ EM xVec bedeutet (A-λ EM ) xVec = 0Vec und dass hier nicht nur die Null-Lösung existiert. Das heisst Det[A-λ EM]=0. Diese Gleichung ist lösbar (charakteristische Gleichung)!

solv1=Solve[Det[A-λ EM]==0,{λ}]//Flatten

N[%]

λ1 = λ/.solv1[[1]]

λ2 = λ/.solv1[[2]]

b2

solv2=Solve[A.{x,y}==λ1{x,y},{x,y}]//Flatten

x1Vec = ({x,y}/.solv2)/.y->1

Simplify[A.x1Vec] == Simplify[λ1 x1Vec]

b3

N[λ1]

solv2a=Solve[A.{x,y}== -0.236068 {x,y},{x,y}]//Flatten

b4

solv3=Solve[A.{x,y}==λ2{x,y},{x,y}]//Flatten

x2Vec = ({x,y}/.solv3)/.y->1

Simplify[A.x2Vec] == Simplify[λ2 x2Vec]

b5

N[λ2]

Solve[A.{x,y}==4.23607 {x,y},{x,y}]//Flatten

Teil II: Eigenwertprobleme und Matrixzerlegung

Definitionen

U[n_] := Inverse[S[n]];
M[n_] := S[n] . Ei[n] . U[n];
pr[n_] := 
      Module[{}, 
        Print["det(S) = ", 
          Det[U[n]]]; 
Print["Gegebene Matrix S = ", 
          S[n] // MatrixForm]; 
Print["Inverse Matrix U = \
", U[n] // MatrixForm]; 
Print["Diagonalmatrix D = ", 
          Ei[n] // MatrixForm]; 
Print["Resultat M = ", 
          M[n] // MatrixForm]; 
        Print["Eigensystem von M = ", Eigensystem[M[n]]]]

II/1

Ei[
          1] = {{1, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 
            3}};
S[
          1] = {{1, 1, 1}, {1, -1, 1}, {1, 
            1, -1}};
pr[1]

M[1] // TeXForm

II/2

Ei[
          2] = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 
            1}};
S[
          2] = {{1, 1, 1}, {1, -1, 1}, {1, 
            1, -1}};
pr[2]

II/3

Ei[
          4] = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 
            2}};
S[
          4] = {{1, 1, 1}, {1, -1, 1}, {1, 
            1, -1}};
pr[4]

Eigensystem[M[4]]

II/4

Ei[
          3] = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 
            0}};
S[
          3] = {{1, 1, 1}, {1, -1, 1}, {1, 
            1, -1}};
pr[3]

Eigensystem[M[3]]

II/5  Abbildung eines Kreises

Ei[5] = {{1, 0}, {0, 2}};
S[5] = {{1, 1}, {1, -1}};
pr[5]

M[5] . {x, y}

u[x_, 
          y_] := (M[5] . {x, y})[[1]];
u[x, y]

v[x_, 
          y_] := (M[5] . {x, y})[[2]];
v[x, y]

x[r_, φ_] := 
        r Cos[φ] + 3;
y[r_, φ_] := r Sin[φ] - 1;

r = 1.5;
p1 = 
        ParametricPlot[{x[r, φ], y[r, φ]}, {φ, 
            0, 2  Pi}, AspectRatio -> Automatic];

p2 = 
        ParametricPlot[{u[x[r, φ], y[r, φ]], 
            v[x[r, φ], y[r, φ]]}, {φ, 0, 
            2  Pi}, AspectRatio -> Automatic];

Show[p1, p2];

Ellipse!