Lösungen

1

Remove["Global`*"]

a

Da der 2. Eigenwert 1 ist, besitzt die Abbildung besitzt eine Fixgerade durch den Urspung mit der Richtung des 2. Eigenvektors.

b

x1 = {2, 1};   x2 = {-1, 1};
X = Transpose[{x1, x2}];  X // MatrixForm

λ1 = -3/2 ;    λ2 = 
        1 ;

Dλ = {{λ1, 0}, {0, λ2}};  
    Dλ // MatrixForm

A = X . Dλ . Inverse[X];  A // MatrixForm

c

Die Diagonalisierung ist in b) benutzt worden.

Eigensystem[A]

Der 2. Eigenvektor ist hier verkürzt angegeben.

d

mE = IdentityMatrix[2];  mE // MatrixForm

Det[A -  λ mE]

Factor[Det[A -  λ mE]]

Det[Dλ -  λ mE]

A und Dλ haben dasselbe charakteristische Polynom.

Pλ[λ_] :=  (λ - 1) (λ - 
            3/2);  Pλ[λ] // Expand

e

Det[A]

Pλ[0]

λ1 λ2

λ1  +  λ2

f

v1 = x1;    v2 = {3, 1};
XB = Transpose[{v1, v2}];  XB // MatrixForm

B = XB . Dλ . Inverse[XB];  B // MatrixForm

g

Det[B -  λ mE]

B hat dasselbe charakteristische Polynom wie A. Daraus liest man ab, dass B und A dieselbe Spur und dieselbe Determinante haben.

h

A . B // MatrixForm

B . A // MatrixForm

Eigenvalues[A . B]

Eigenvalues[B . A]

Eigensystem[A . B]

Eigensystem[B . A]

A.B und B.A haben dieselben Eigenwerte, also dieselbe Diagonalmatrix, aber nicht dieselben Eigenvektoren.

i

P1 = {-2, -1} ; P2 = {-1, -3} ; P3 = {2, -2} ;

Q1 = A . P1

Q2 = A . P2

Q3 = A . P3

j

Senkr[a_] := {-a[[2]], 
          a[[1]]};
FlaechenProd[a_, b_] := Senkr[a] . b

FlaechenProd[P2 - P1, P3 - P1]

FlaechenProd[Q2 - Q1, Q3 - Q1]

FlaechenProd[Q2 - Q1, Q3 - Q1]/
      FlaechenProd[P2 - P1, P3 - P1]

FlaechenProd[Q2 - Q1, Q3 - Q1]/
        FlaechenProd[P2 - P1, P3 - P1] == λ1 λ2

FlaechenProd[Q2 - Q1, Q3 - Q1]/FlaechenProd[P2 - P1, P3 - P1] == 
      Det[A]

k

o = {0, 0};
Show[
        Graphics[
{
Line[{{-1, 
                  0}, {1, 0}}], 
            Line[{{0, -1}, {0, 1}}], 
Line[{o, x1}], 
            Line[{o, x2}], 
Line[{P1, P2, P3, 
                P1}], 
Line[{Q1, Q2, Q3, 
                Q1}], 
Line[{o, P3}], Line[{P1, Q1}], 
            Line[{P2, Q2}], 
PointSize[0.03], Point[P1], 
            Point[P2], Point[P3], Point[Q1], Point[Q2], 
            Point[Q3]
}
], 
        AspectRatio -> Automatic];

2

Remove["Global`*"]

Die Abbildungen A.B und B.A lassen sich nacheinander konstruieren, was geometrisch interessant ist, weil Fixpunktgeraden auftreten.

x1 = {2, 1};   x2 = {-1, 3};
X = Transpose[{x1, x2}];  X // MatrixForm

λ1A = 2;    λ2A = 
      1;  λ1B = 
      1;    λ2B = -3;

DλA = {{λ1A, 0}, {0, λ2A}};  
    DλA // MatrixForm

DλB = {{λ1B, 0}, {0, λ2B}};  
    DλB // MatrixForm

DλB . DλA // MatrixForm

DλA . DλB // MatrixForm

A = X . DλA . Inverse[X];  A // MatrixForm

B = X . DλB . Inverse[X];  B // MatrixForm

A . 
        B == (X . DλA . Inverse[X]) . (X . DλB . 
            Inverse[X])

B . 
        A == (X . DλB . Inverse[X]) . (X . DλA . 
            Inverse[X])

A // Eigensystem

B // Eigensystem

A . B // Eigensystem

B . A // Eigensystem

(X . DλA . Inverse[X]) . (X . DλB . 
            Inverse[X]) // MatrixForm

A . B // MatrixForm

(X . DλB . Inverse[X]) . (X . DλA . 
            Inverse[X]) // MatrixForm

B . A // MatrixForm