Lösungen

1

a

<<Graphics`PlotField`

g1=PlotVectorField[{1, x y^3},{x,-2,2,0.2},{y,-2,2,0.2},Epilog->{Hue[1],Line[{{-2,0},{2,0}}],Line[{{0,-2},{0,2}}]},AspectRatio->Automatic];

b

DSolve[y'[x]==x y[x]^3,y[x],x ]

c

g3=Plot[1/Sqrt[-x^2+4],{x,-2,2}];  (* Eine Lösungskurve *)

g3=ParametricPlot[Evaluate[Table[{x,1/Sqrt[-x^2-2 c]},{c,-3,-1}]],{x,-2,2},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-2,2}];

g4=ParametricPlot[Evaluate[Table[{x,-1/Sqrt[-x^2-2 c]},{c,-3,-1}]],{x,-2,2},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-2,2}];

d

DSolve[{y'[x] == x y[x]^3, y[1] == 1}, y[x], 
      x ]

DSolve[{y'[x]==x y[x]^3,y[1]==1},y,x ]

e

u1[x_, c_] := 
        Re[PowerExpand[(c /x)^(1/3)]];
Print[u1[x, c]];
u[x_, c_] := 
        Abs[(c /x)]^(1/3) Sign[x c];
u[x, c]

g2 = 
        Plot[Evaluate[Table[u[x, c^3], {c, -5, 5, 0.3}]], {x, -2, 2}, 
          PlotRange -> {-2, 2}, 
          AspectRatio -> Automatic];

f

Show[g2,g1,g3,g4,AspectRatio->Automatic];

2

Wo existiert eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung?

solution=Evaluate[Table[NDSolve[{y'[x]-1==2 Re[ (y[x]-x)^2]^(1/3),y[1.]==a},y,{x,-3,3}],{a,-20,20}]];
solution[[1]];
tab=Table[
Re[y[x]]/.solution[[k]],{k,1,Length[solution]}
];
Plot[Evaluate[Union[{{x}},tab]],{x,-2,3},PlotRange->{-2,3},AspectRatio->Automatic];

Remove["Global`*"]

f[x_,y_]:=1+(2 (y-x)^2)^(1/3);
(Normal[Series[f[x,y],{y,x0,1}]])//Expand

(Normal[Series[f[x,y],{y,x0,1}]]/.x0->x)//Expand

D[f[x,y],y]

Entwickelt man die Funktion auf der rechten Seite in eine Potenzreihe mit der Variablen y und dem Zentrum y0=x, dass ein Pol entsteht. Die Ableitung nach y (Steigung Richtung y) hat bei y = x einen Pol. Bei y = x kann daher eine Differenz zweier Funktionswerte |f(x,y1)-f(x,y2)| (welche weben dem Pol nicht definiert sind) nicht kleiner als L*|y1-y2| sein

Beispiel x = 0

Plot[f[0,y]-f[0,0],{y,-2,2}];

Für x ungleich y und kleine Differenzen |y1-y2|  ist Lipschitz erfüllbar.

3

a

Lösung

DSolve[y'[x]==x y[x],y[x],x ]

DSolve[{y'[x] == x y[x], y[1] == 1}, y[x], 
      x ]

Plot der exakten Lösung der Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solv = Flatten[DSolve[{y'[x]==x y[x],y[1]==1},y,x]];
y = y/.solv;
Print[Simplify[y[x]]];
Plot[y[x],{x,-1,3}];

Plot der numerischen Lösung einer Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solution = 
      NDSolve[{y'[x] == x y[x], y[1] == 1}, 
        y, {x, -1, 3}, WorkingPrecision -> 24]; 
    Plot[y[x] /. solution, {x, -1, 3}];

b

Lösung

DSolve[y'[x]==Sin[x]/Cos[y[x]],y[x],x ]

DSolve[{y'[x] == Sin[x]/Cos[y[x]], y[0] == 1}, y[x], 
      x ]

Plot der exakten Lösung der Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solv = Flatten[DSolve[{y'[x]==Sin[x]/Cos[y[x]],y[0]==1},y,x]];
y = y/.solv;
Print[Simplify[y[x]]];
Plot[y[x],{x,-0.5,0.5}];

Plot der numerischen Lösung einer Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solution = 
      NDSolve[{y'[x] == Sin[x]/Cos[y[x]], y[0] == 1}, 
        y, {x, -0.5, 0.5}, WorkingPrecision -> 24]; 
    Plot[y[x] /. solution, {x, -0.5, 0.5}];

3

a

Lösung

Remove["Global`*"];
DSolve[y'[x]==x y[x],y[x],x ]

DSolve[{y'[x] == x y[x], y[1] == 1}, y[x], 
      x ]

Plot der exakten Lösung der Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solv = Flatten[DSolve[{y'[x]==x y[x],y[1]==1},y,x]];
y = y/.solv;
Print[Simplify[y[x]]];
Plot[y[x],{x,-1,3}];

Plot der numerischen Lösung einer Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solution = 
      NDSolve[{y'[x] == x y[x], y[1] == 1}, 
        y, {x, -1, 3}, WorkingPrecision -> 24]; 
    Plot[y[x] /. solution, {x, -1, 3}];

x

Lösung

Remove["Global`*"];
DSolve[y'[x]==x^4/y[x],y[x],x ]

DSolve[{y'[x] == x^4/y[x], y[1] == 2}, y[x], 
      x ]

Plot der exakten Lösung der Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solv = Flatten[DSolve[{y'[x]==x^4/y[x],y[1]==2},y,x]];
y = y/.solv;
Print[Simplify[y[x]]];
Plot[y[x],{x,-0.5,0.5}];

Plot der numerischen Lösung einer Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solution = 
      NDSolve[{y'[x] == x^4/y[x], y[1] == 2}, 
        y, {x, -0.5, 0.5}, WorkingPrecision -> 24]; 
    Plot[y[x] /. solution, {x, -0.5, 0.5}];

4

a

Lösung

DSolve[y'[x]== 4x + 7 y[x]+3,y[x],x ]

DSolve[{y'[x] == 4  x + 7 y[x] + 3, y[-1] == 7}, 
      y[x], x ]

Plot der exakten Lösung der Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solv = Flatten[DSolve[{y'[x]==4x+7 y[x]+3,y[-1]==7},y,x]];
y = y/.solv;
Print[Simplify[y[x]]];
Plot[y[x],{x,-1,1}];

Plot der numerischen Lösung einer Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solution = 
      NDSolve[{y'[x] == 4  x + 7 y[x] + 3, y[-1] == 7}, 
        y, {x, -1, 3}, WorkingPrecision -> 24]; 
    Plot[y[x] /. solution, {x, -1, 1}];

b

Lösung

DSolve[y'[x]== (y[x]+1)/x+3,y[x],x ]

DSolve[{y'[x] == (y[x] + 1)/x + 3, y[1] == 7}, 
      y[x], x ]

Plot der exakten Lösung der Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solv = Flatten[DSolve[{y'[x]==(y[x]+1)/x+3,y[1]==7},y,x]];
y = y/.solv;
Print[Simplify[y[x]]];
Plot[y[x],{x,0,1}];

Plot der numerischen Lösung einer Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solution = 
      NDSolve[{y'[x] == (y[x] + 1)/x + 3, y[1] == 7}, 
        y, {x, -1, 3}, WorkingPrecision -> 24]; 
    Plot[y[x] /. solution, {x, 0, 1}];

c

Lösung

D[x+Sin[x y+x],x] dx + D[x+Sin[x y+x],y] dy

D[x+Sin[x y+x],x] dx + D[x+Sin[x y+x],y] dy //InputForm

(1 + (1 + y)*Cos[x + x*y])/(x*Cos[x + x*y])

DSolve[y'[x]==-(1 + (1 + y[x])*Cos[x + x*y[x]])/(x*Cos[x + x*y[x]]), y[x], x ]

DSolve[{y'[
            x] == -(1 + (1 + y[x])*Cos[x + x*y[x]])/(x*
                Cos[x + x*y[x]]), y[1/2] == 1}, y[x], x ]

Plot der exakten Lösung der Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solv = Flatten[DSolve[{y'[x]==-(1+(1+y[x])*Cos[x+x*y[x]])/(x*Cos[x+x*y[x]]),y[1/2]==1},y,x]];
y = y/.solv;
Print[Simplify[y[x]]];
Plot[y[x],{x,0.35,1}];

Plot der numerischen Lösung einer Differentialgleichung in einem Schritt

Remove["Global`*"];
solution = 
      NDSolve[{y'[
              x] == -(1 + (1 + y[x])*Cos[x + x*y[x]])/(x*
                  Cos[x + x*y[x]]), y[1/2] == 1}, y, {x, -1, 3}, 
        WorkingPrecision -> 24]; 
    Plot[y[x] /. solution, {x, 35, 1}];