Lösungen

1 Anfangswertproblem

a   Evaluierung einer Lösung, welche näher untersucht werden soll

Remove["Global`*"];
m[k1_,k2_,k3_,y0_,y1_]:=Module[{x,y},
solv = 
DSolve[{y''[x]+ k1 y'[x]+ k2 y[x]==Cos[k3 x-1], y[0]==y0, y'[0]==y1},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["k1 = ",k1,"  k2 = ",k2,"  k3 = ",k3];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[y[x],{x,0,15}]];

Table[m[k1,k2,k3,1,0],{k1,-2,2},{k2,-2,2},{k3,-3,3}];

b   Nähere Untersuchung der Lösung von 
     y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]==Cos[-3 x-1],  y[0]==1,  y'[0]==-1

Exakte Lösung

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]==Cos[-3 x-1], y[0]==1, y'[0]==-1},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
plot1 = Plot[y[x],{x,-1,25},PlotRange->{-1,1},AspectRatio->1];

Numerische Lösung,  WorkingPrecision->64

Remove[x,y];
solut = NDSolve[{y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]==Cos[-3 x-1], y[0]==1, y'[0]==-1},y,{x,0,25},WorkingPrecision->64];
plot2 = Plot[y[x]/.solut,{x,0,25},PlotRange->{-1,1},AspectRatio->1];

Numerische Lösung,  WorkingPrecision->24

Remove[x,y];
solut = NDSolve[{y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]==Cos[-3 x-1], y[0]==1, y'[0]==-1},y,{x,0,25},WorkingPrecision->24];
plot2 = Plot[y[x]/.solut,{x,0,25},PlotRange->{-1,1},AspectRatio->1];

Ueberlagerung der exakten und der numerischen Lösung (WorkingPrecision->24)

Show[plot1,plot2];

2 Randwertproblem

a   Achtung!  Die Prozedur DSolve in Version 5.2 findet nicht automatisch alle Lösungen eines Randwertproblems. Hier wird das Eigenwertproblem (Randwertproblem) y''[x] == - λ y[x], y[0]==0, y[π]==0 studiert

i

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x] == - λ y[x], y[0]==0, y[Pi]==0},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];

Nur die Nullösung ist gefunden worden!

solv

ii      Wir testen, ob andere Eigenfunktionen auch Lösungen sind, y[x]-> Sin[Sqrt[λ] x]:

Remove[λ,y,x]

(y''[x] == - λ y[x]/. {y[x]-> Sin[Sqrt[λ] x],y''[x]-> D[Sin[Sqrt[λ] x],{x,2}]})//Simplify

Remove[λ,y,x]

{y''[x] == - λ y[x], y[0], y[Pi]}/. {y[x]-> Sin[Sqrt[λ] x],y''[x]-> D[Sin[Sqrt[λ] x],{x,2}],y[0]-> Sin[Sqrt[λ] 0],y[Pi]-> Sin[Sqrt[λ] Pi]}//Simplify

Assuming[λ∈Integers,{y''[x] == - λ^2 y[x], y[0], y[Pi]}/. {y[x]-> Sin[λ x],y''[x]-> D[Sin[λ x],{x,2}],y[0]-> Sin[λ 0],y[Pi]-> Sin[λ Pi]}//Simplify]

iii

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x] == - y[x], y[0]==0, y[Pi]==0},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];

Hier ist die erste Eigenfunktion zum gegebenen Eigenwert 1 gefunden worden! Der Eigenwert war vorgegeben.

b   Ein weiteres Beispiel ohne Untersuchung von Eigenwerten und Eingenfunktionen

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]== Sin[x], y[0]==0, y'[Pi]==0},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[y[x],{x,0,25}];

c   Noch ein weiteres Beispiel ohne homogene Randbedingungen

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]==Sin[x], y[0]==0, y'[Pi]==1},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[y[x],{x,0,25}];

d   Nochmals ein weiteres Beispiel ohne homogene Randbedingungen

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]==Sin[x], y[0]==1, y[Pi]==0},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[y[x],{x,0,25}];

e   Wieder ein weiteres Beispiel ohne homogene Randbedingungen

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x]+ y'[x]+ 2 y[x]==Sin[x], y[0]==1, y[Pi]==1},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[y[x],{x,0,25}];

f    Und wieder ein weiteres Beispiel ohne homogene Randbedingungen

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x]+ y'[x] == y[x], y[0]==1, y[Pi]==1},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[{y[x],1},{x,0,2Pi}];

g   Abermals ein weiteres Beispiel ohne homogene Randbedingungen

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x]+ y'[x] == y[x], y[0]==1, y[1]==1},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[{y[x],1},{x,0,2Pi}];

h   Ein letztes Beispiel ohne homogene Randbedingungen

Remove["Global`*"];
solv=DSolve[{y''[x] == - y[x], y[0]==1, y[1]==1},y,x];
y = y/.solv[[1]];
Print["==>  y[x] = ",y[x]//Simplify];
Plot[{y[x],1},{x,0,2Pi}];