Lösungen / Statistik 1/16

1.

Remove["Global`*"]

h = p*q; s = p + q;
solv = Solve[ s*h/2 == 1, {q}]

((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p])))  / .0 -> 
      0

Plot[((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p]))), {p, 0, 
          10}];

h*s /. solv[[2]] // Simplify

p*(p*q) + q*(p*q) /. solv[[2]] // Simplify

f1[x_, p_] := 
        p x + (p*((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p])))) // 
          Simplify;
f2[x_, 
          p_] := -((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p]))) x + (p*((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p])))) // 
          Simplify;

p x + (p*q) /. solv[[2]]

f1[x, 2]

f2[x, 2]

Plot[{f1[x, 2], f2[x, 2]}, {x, -1, 2}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Remove[f]

f[x_, p_] := 
      0 /; x ≤ -((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p]))); f[x_, p_] := 
      f1[x, p] /; -((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p]))) < 
            x  &&  x ≤ 0 ;
f[x_, p_] := 
        f2[x, p] /; 
          0 < x  &&  x  ≤ p;
f[x_, p_] := 0 /; p < x

f[-1, 2]

Plot[{f[x, 2]}, {x, -0.7, 2.5}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Plot[{f[x, 1]}, {x, -1, 1}, 
        AspectRatio -> Automatic];

e[n_, p_] := 
        NIntegrate[
          x^n f[x, p], {x, -Infinity, 
            Infinity}];
e[3, 2]

e[n_, p_] := 
        Integrate[
          x^n f[x, p], {x, ((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p]))), 
            p}];
e[3, 2]

eNew[n_, p_] := 
        Integrate[
            x^n f1[x, 
                p], {x, -((-(p^(3/2)) + (Sqrt[8 + (p^3)]))/(2 (Sqrt[p]))), 0}] + Integrate[x^n f2[x, p], {x, 0, p}];

eNew[3, 2]

{eNew[3, 1], eNew[2, 1], eNew[1, 1], eNew[0, 1]}

μ[p_] := eNew[1, p];  σ[p_] := 
      Sqrt[eNew[2, p] - μ[p]^2];
γ[p_] := 
      1/σ[p]^3 * (eNew[3, p] - 3 μ[p] eNew[2, p] +  
            2  μ[p]^3 )

{μ[1], σ[1], γ[1]}

Plot[γ[p], {p, 0.8, 5}, 
        PlotRange -> {-0.3, 0.7}];

2.

Remove["Global`*"]

(Subscript[n, 0]) = 25
3 neutral
18 A Differenzen grösser 0 ==> A  (1. Stichprobe)
4 Differenzen kleiner 0 ==> B  (2. Stichprobe)

H0 ==>  beide Verfahren sind gleich
H1 ==>  beide Verfahren sind nicht gleich, Verfahren verschieden

Frage: Wahrscheinlichkeit, dass unter Annahme von H0 trotzdem eine Abweichung zwischen A und B auftritt,dass also H0 falsch sein muss?
Sei (Subscript[x, i])  der i-te Wert der aus der 1. Stichprobe mit Verfahren A, (Subscript[x, i])' der i-te Wert der aus der 2. Stichprobe mit Verfahren B.
Sei (Subscript[d, i])  =(Subscript[x, i])  - (Subscript[x, i]) '. Dann ist das Auftreten einer negativen Differenz gleich wahrscheinlich wie das Auftreten einer positiven Differenz.
Wir nehmen an,dass die Verteilungen A und B angesichts der Messwerte (Subscript[x, i])   und (Subscript[x, i])'  stetig sind Messungen sind hier (keine Anzahlen). Daher kann man angesichts der daraus resultierenden Wahrscheinlichkeitsdichten P((Subscript[X, i])=(Subscript[X, i])') = 0 setzen.
Weiter sind die Zufallsgrössen für i=1,2,...,n unabhängig.
Damit wird neu n=18+4=22.
So ergibt sich z.B.für A neu eine Binomialverteilung mit p=(1/2), q = 1-(1/2)=(1/2) und n=22.
P(X=18)=(({{22}, {18}})) ((((1/2)))^18)((((1/2)))^((22 - 18))) = (({{22}, {18}})) ((((1/2)))^22) , P(X=k) := f(k)

Um weiter zu kommen betrachten wir die neue Alternativhypothese H1, welche postuliert, dass die (Subscript[x, i])-Werte im Durchschnitt wesentlich grösser sind als die (Subscript[x, i])'-Werte. 
H0 wird dann abgelehnt, wenn die Anzahl der positiven Differenzen \(\(\(\ \ \)\(k\^+\)\)\) einen kritischen Wert  (Subscript[k, (1 - α)]) überschreitet oder gleich ist. 
Vorderung: P(\(\(K\^+\)\) ≥  (Subscript[k, (1 - α)])) ≤  α,    α = Irrtumswahrscheinlichkeit.
Es gilt: P(\(\(K\^+\)\) ≥  (Subscript[k, (1 - α)]))  =(∑_(i = k_ (1 - α))^n)  P(\(\(K\^+\)\) = i)  ≤  α  ==> (Subscript[k, (1 - α)]) = ?

f[k_] := Binomial[22, k] (1/2)^22;   f[k]

f[18] // N

s[k_] := Sum[N[f[u]], {u, k, 22}];   s[k]

s[k] ist die Wahrscheinlichkeit 
P[K ≥  18 (K grösser gleich 18)] = 1-P[K <  18 (K kleiner 18)]
P[K <  18 (K kleiner 18)] = 1-P[K ≥  18 (K grösser gleich 18)] = 1-s[k]

Prepend[
        Table[{k, s[k],  1 - s[k]}, {k, 0, 
            22}], {"n", "s[k]=α", "1-s[k]=1-α"}] // 
      TableForm

Ein Wert k ≥ 18 (k grösser gleich 18) kommt daher mit der Wahrscheinlichkeit 0.00217... kleiner vor, je nach k. 
Für grössere α-Werte (alpha-Werte) müsste man k kleiner haben, damit P[K ≥  k, grösser gleich] ≤ α (kleiner gleich alpha)  eintrifft. Für k ≥ 18 (k grösser gleich 18) hat daher die Alternative eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit.
Da die eingetroffene reale Situation, die Alternative also mit k = 18 mit p= 0.00217... so unwahrscheinlich aber dennoch real ist, müsste man H0 z.B. bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 oder bei α = 0.01ablehnen, denn es ist 0.00217... < 0.01. Die Abweichung von einem erwarteten Resultat, dass die negativen und die positiven Differenzen etwa gleich oft vorkommen müsten, ist hier zu gross.

3.

Remove["Global`*"]

Gegeben ist von einem Datensatz mit n = 4984 Messungen der gerundete Mittelwert
¯xn = 652 und die gerundete Standardabweichung StD = 184. Weiter ist bekannt, dass
die Messungen in Klassen eingeteilt worden waren. Es handelt sich also hier approximativ
um Mittelwert und Standardabweichung von mittleren Klassenwerten.
Nun ist bekannt geworden, dass eine Messvorrichtung, mit der j = 196 Werte gemessen
worden sind, die Klassenwerte 650 statt richtig 670 geliefert hat. Ebenfalls sind bei dieser
Messvorrichtung 212 Werte der Klassengr¨osse 750 als unsinnig abgetan und unterdr¨uckt
worden. n ist also zu klein eingerechnet. Berechne den korrigierten Mittelwert und die
korrigierte Standardabweichung in 2 Stufen.
Bemerkung zur L¨osung dieser Aufgabe: Diese soll mit einem Rechner ausgef¨uhrt
werden. Eine Musterl¨osung wird bei Gelegenheit unter dem folgenden Link bereitgestellt:

<< Statistics`DescriptiveStatistics`;
n0 = 4984;
xM0 = 652;
StD0 = 184;
j0 = 196;
m0 = 212;
xj0 = 650;
xj1 = 670;
xm0 = 750;
QS[xM_, n_, StD_] := (n - 1) StD^2 + n xM^2;

a   Korrigierter Mittelwert und 
korrigierte Standardabweichung Stufe 1

xM1 = (n0 xM0 - j0 xj0 + j0 xj1)/n0

N[%]

QS0 = QS[xM0, n0, StD0]

StD1[n_, QS_, xM_] := 
        Sqrt[QS/(n - 1) - n/(n - 1) xM^2];

StD1[n0, QS0, xM1]

N[%]

In der erster Stufe ist der Mittelwert von 652 auf  etwa 652.79 gestiegen und die Standardabweichung von 184 auf etwa 181.19 gesunken.

b   Korrigierter Mittelwert und 
korrigierte Standardabweichung Stufe 2

xM2 = (n0 xM1   + m0 xm0)/(n0 + m0)

N[%]

QS1 = QS[xM1, n0, StD0]

QS0 - QS1

N[%]

QS2[QS1_, m_, xm_] := QS1 + m xm^2;

QS2[QS1, m0, xm0]

N[%]

StD2[n_, m_, QS_, xM_] := 
        Sqrt[QS/(n + m - 
                  1) - (n + m)/(n + m - 1) xM^2];

StD2[n0, m0, QS2[QS1, m0, xm0], xM2]

N[%]

In der ersteun und zweiten Stufe ist der Mittelwert von 652 über etwa 652.79 auf  etwa 656.8 gestiegen und die Standardabweichung von 184 über etwa 181.19 auf etwa 181.23  gesunken.