Körper

(Hilfen zu Kleinprojekt)

Volumenformen, Beispiele

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Cos[u])Cos[v],
Sin[u]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}];

x[r_,u_,v_]:= (r Cos[u]+4) Sin[v];
y[r_,u_,v_]:= (r Cos[u]+4) Cos[v];
z[r_,u_,v_]:= r Sin[u];
j[r_,u_,v_]:= Det[{
{D[x[r,u,v],{r}],D[x[r,u,v],{u}],D[x[r,u,v],{v}]},
{D[y[r,u,v],{r}],D[y[r,u,v],{u}],D[y[r,u,v],{v}]},
{D[z[r,u,v],{r}],D[z[r,u,v],{u}],D[z[r,u,v],{v}]}
}];
j[r,u,v]//Simplify

Integrate[j[r,u,v],{r,0,1},{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

N[%]

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Cos[u])Cos[v],
Sin[u]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},ViewPoint->{-3.178, 0.064, -0.285}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Cos[u])Cos[v],
Sin[u]};
ParametricPlot3D[h[u,v,0.5],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Sin[u])Sin[v],
Cos[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}];
Transpose[{h[u,v,5]}]//TeXForm;

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Sin[u])Sin[v],
Cos[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,0.25],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},ViewPoint->{1.010, -2.798, 1.155}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Sin[u])Sin[v],
Cos[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},ViewPoint->{1.202, -2.688, 0.979}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Sin[u])Sin[v],
Cos[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},ViewPoint->{-1.699, -2.596, -0.059}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Cos[v],
(4+r Sin[u])Cos[v],
Sin[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,Pi},{v,0,Pi}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Cos[v],
(4+r Sin[u])Cos[v],
Sin[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,Pi},{v,0,2Pi}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Cos[v],
(4+r Sin[u])Cos[v],
Sin[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,3],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Cos[v],
(4+r Sin[u])Sin[v],
Sin[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,1],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}];

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Sin[u])Cos[v],
Cos[v]};
ParametricPlot3D[h[u,v,0.5],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}];

Volumenintegrale, Beispiel 1

Wir studieren einen Körper, zuerst die Form durch Aufblasen

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Sin[u])Sin[v],
Cos[v]};
Table[ParametricPlot3D[h[u,v,r],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}],{r,0.2,1,0.2}];

==> Durch Veränderung von r wird der Körper aufgeblasen!

Funktionaldeterminante

x[u_,v_,r_]:= (4+r Cos[u])Sin[v];
y[u_,v_,r_]:= (4+r Sin[u])Sin[v];
z[u_,v_,r_]:= Cos[v];
jacobi[u_,v_,r_]:={
{D[x[u,v,r],u],D[x[u,v,r],v],D[x[u,v,r],r]},
{D[y[u,v,r],u],D[y[u,v,r],v],D[y[u,v,r],r]},
{D[z[u,v,r],u],D[z[u,v,r],v],D[z[u,v,r],r]}
};
jacobi[u,v,r] //  MatrixForm

Det[jacobi[u,v,r]]

Volumenintegral

Abs[Integrate[Evaluate[Det[jacobi[u,v,r]]],{r,0,1},{v,0,Pi},{u,0,2Pi}]]

Abs[NIntegrate[Evaluate[Det[jacobi[u,v,r]]],{r,0,1},{v,0,Pi},{u,0,2Pi}]]

Volumenintegrale, Beispiel 2

Wir studieren einen Körper, zuerst die Form durch Aufblasen

h[u_,v_,r_]:={
(4+r Cos[u])Sin[v],
(4+r Cos[u])Cos[v],
Sin[u]};
ParametricPlot3D[h[u,v,0.5],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}];

==> Durch Veränderung von r wird der Körper aufgeblasen!

Funktionaldeterminante

x[u_,v_,r_]:= (4+r Cos[u])Sin[v];
y[u_,v_,r_]:= (4+r Cos[u])Cos[v];
z[u_,v_,r_]:= Sin[u];
jacobi[u_,v_,r_]:={
{D[x[u,v,r],u],D[x[u,v,r],v],D[x[u,v,r],r]},
{D[y[u,v,r],u],D[y[u,v,r],v],D[y[u,v,r],r]},
{D[z[u,v,r],u],D[z[u,v,r],v],D[z[u,v,r],r]}
};
jacobi[u,v,r] //  MatrixForm

Det[jacobi[u,v,r]]

Volumenintegral

Abs[Integrate[Evaluate[Det[jacobi[u,v,r]]],{r,0,1},{v,0,2Pi},{u,0,2Pi}]]

Abs[NIntegrate[Evaluate[Det[jacobi[u,v,r]]],{r,0,1},{v,0,2Pi},{u,0,2Pi}]]

Volumenintegral Formelvergleich "Querschnitt mal Umfang Schwerpunktskreis"

A = 1^2 Pi

Umf = 2 * 4 * Pi

A*Umf

==> Formel richtig!

Hinweise auf Plots und Rechnungen im Matlab / Octave

Siehe    http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/FileList.html