Lösungen

Beispiele von Aufgaben mit Laplace-Transformation

Hier werden nur Lösungswege für die folgenden Aufgaben aufgezeigt: 
4.2 // II/10 Aufgaben 1 und 2 sowie 3.8 // II/18, Aufgabe 2

1:    4.2 // II/10, A1

1.1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[y''[t]+y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->1,y'[0]->-2}

1.2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[t ,t,s]

1.3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

1.4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[Evaluate[{u0[t]}],{t,0,6Pi}];

2:   4.2 // II/10, A2a

Alles wieder löschen, sauber machen

Remove["Global`*"]

2.1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[y'''[t]-3 y''[t]+3 y'[t]-y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0,y''[0]->-2}

2.2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[t^2 E^t ,t,s]

2.3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

2.4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[Evaluate[{u0[t]}],{t,0,4}];

2:   4.2 // II/10, A2b

Alles wieder löschen, sauber machen

Remove["Global`*"]

2.1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[y'''[t]-3 y''[t]+3 y'[t]-y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0,y''[0]->-2}

2.2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[DiracDelta[t] ,t,s]

2.3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

2.4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

Plot[Evaluate[{u0[t]}],{t,0,2}];

3: 3.8 // II/18, A3

Alles wieder löschen, sauber machen

Remove["Global`*"]

3.1. Linke Seiten transformieren, Anfangswerte anpassen

links1 = LaplaceTransform[y'[t]-z'[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],LaplaceTransform[z[t],t,s]->Z[s],y[0]->1,z[0]->0}

links2 = LaplaceTransform[y[t]+2 z[t]-2y'[t]-z'[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],LaplaceTransform[z[t],t,s]->Z[s],y[0]->1,z[0]->0}

3.2. Rechte Seite transformieren

us[t_]:=UnitStep[t]-UnitStep[t-1];
Plot[us[t],{t,-1,3},AspectRatio->Automatic];

rechts1=LaplaceTransform[0 ,t,s]

rechts2=LaplaceTransform[us[t] ,t,s]

3.3. Gleichungssystem links1 = rechts1, links2 = rechts2 lösen

solv=Solve[{links1==rechts1,links2==rechts2},{Y[s],Z[s]}] // Flatten

3.4. Rücktransformation

Uy[s]:=Y[s]/. solv;  Uy[s]

Uy[s]//Apart

uy0[t_]:=InverseLaplaceTransform[Uy[s],s,t]//Simplify; uy0[t]

Uz[s]:=Z[s]/. solv;  Uz[s]

Uz[s]//Apart

uz0[t_]:=InverseLaplaceTransform[Uz[s],s,t]//Simplify; uz0[t]