Lösungen

1

p1=Plot[-Floor[Sin[t]/2]-0.5,{t,-12,18},
Epilog->{Line[{{0,-0.3-0.5},{0,1.3-0.5}}]},
PlotStyle->{Thickness[0.015]},AspectRatio->1/3,DisplayFunction->Identity];
p2=Show[Graphics[Line[{{0,-0.3-0.5},{0,1.3-0.5}}]],DisplayFunction->Identity];
Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction];

2

a

Sinusreihe, da ungerade Funktion!!

b

Remove["Global`*"]

f[x_ /; 0<=x && x<Pi]:= -1;
f[x_ /; Pi<=x && x<=2Pi]:=1;
Plot[f[t],{t,0,2Pi}];

b[k_]:=1/Pi NIntegrate[f[t]Sin[k t],{t,0,2Pi}];
b[k]

g[t_]=Sum[Evaluate[b[k] Sin[k t]],{k,1,10}];
g[t]

Plot[{f[t],g[t]},{t,-0,2Pi}];

3

a

Remove["Global`*"]

f[x_ /; 0<=x && x<=Pi]:= t+Pi;
f[x_ /; -Pi<=x && x<0]:=-t+Pi;
Plot[f[t],{t,-Pi,Pi}];

Die Funktion hat eine Cosinusreihe mit konstantem Glied

a[k_]:=1/Pi NIntegrate[f[t]Cos[k t],{t,-Pi,Pi}];
a[k]

a[0]=1/Pi NIntegrate[f[t],{t,-Pi,Pi}]

g[t_]= a[0]/2+Sum[Evaluate[a[k] Cos[k t]],{k,1,10}];
g[t]

b

Plot[{f[t],g[t]},{t,-Pi,Pi}];

c

fAbl[x_ /; 0<=x && x<=Pi]:= 1;
fAbl[x_ /; -Pi<=x && x<0]:=-1;
Plot[fAbl[t],{t,-Pi,Pi}];

gAbl[t_]= 0+Sum[Evaluate[-a[k] Sin[k t] k],{k,1,10}];
gAbl[t]

Plot[{fAbl[t],gAbl[t]},{t,-Pi,Pi}];

d   Die Reihe bis n = 20 nach Tabelle mit Plot

f[t_]:=3 Pi/2-4/Pi Sum[1/(2k-1)^2 Cos[(2k-1)t],{k,1,20}];
Plot[Evaluate[f[t]],{t,-4Pi,4Pi}];

4

a

Remove["Global`*"]

f[x_ /; 0<=x && x<=2Pi]:= t+Pi;
f[x_ /; -2Pi<=x && x<0]:=-t+Pi;
Plot[f[t],{t,-2Pi,2Pi}];

Die Funktion hat eine Cosinusreihe mit konstantem Glied

a[k_]:=1/(2Pi) NIntegrate[f[t]Cos[k t/2],{t,-2Pi,2Pi}];
a[k]

a[0]=1/(2Pi) NIntegrate[f[t],{t,-2Pi,2Pi}]

g[t_]= a[0]/2+Sum[Evaluate[a[k] Cos[k t/2]],{k,1,10}];
g[t]

b

Plot[{f[t],g[t]},{t,-Pi,Pi}];

Der Plot zeigt, dass die Approximation an den Enden besser ist. In der Mitte ist sie aber schlecher!

Kopie des oben berechneten Graphen hier anbringen!

c

fAbl[x_ /; 0<=x && x<=2Pi]:= 1;
fAbl[x_ /; -2Pi<=x && x<0]:=-1;
Plot[fAbl[t],{t,-2Pi,2Pi}];

gAbl[t_]= 0+Sum[Evaluate[-a[k] Sin[k t/2] k/2],{k,1,10}];
gAbl[t]

Plot[{fAbl[t],gAbl[t]},{t,-2Pi,2Pi}];

Kopie des oben berechneten Graphen hier anbringen: Kein ersichtlicher Unterschied!

5

a

Remove["Global`*"]

h[x_ /; 0<=x && x<=2Pi]:= t;
h[x_ /; -2Pi<=x && x<0]:=-t;
Plot[h[t],{t,-2Pi,2Pi}];

Die Funktion hat eine Cosinusreihe mit konstantem Glied

a[k_]:=1/(2Pi) NIntegrate[h[t]Cos[k t/2],{t,-2Pi,2Pi}];
a[k]

a[0]=1/(2Pi) NIntegrate[h[t],{t,-2Pi,2Pi}]

m[t_]= a[0]/2+Sum[Evaluate[a[k] Cos[k t/2]],{k,1,10}];
m[t]

b

Plot[{h[t],m[t]},{t,-Pi,Pi}];

Der Plot zeigt, dass die Approximation an den Enden besser ist. In der Mitte ist sie aber schlecher!

c

hInt[x_,c_]:= NIntegrate[h[t],{t,-Pi,x}]+c;
p1=Plot[hInt[t,0],{t,-2Pi,2Pi}];

hInt[x_,c_]:= NIntegrate[h[t],{t,-Pi,x}]+c;
p1=Plot[hInt[t,-a[0]/2],{t,-2Pi,2Pi}];

hInt[x_,c_]:= NIntegrate[h[t]-a[0]/2,{t,-Pi,x}]+c;
p1=Plot[hInt[t,5],{t,-2Pi,2Pi}];

mInt[t_,c_]= c+Sum[Evaluate[a[k] Sin[k t/2] 2/k],{k,1,10}];
mInt[t,c]

Plot[{hInt[t,5],mInt[t,0]},{t,-2Pi,2Pi}];

Plot[hInt[t,5],{t,-2Pi,2Pi}];
Plot[mInt[t,0],{t,-2Pi,2Pi}];

Kommentar

Damit zwei ungefähr gleiche Graphen erscheinen, muss 
" hInt[x_,c_]:= NIntegrate[h[t]-a[0]/2,{t,-Pi,x}]+c; " verwebdet werden. Durch h[t]-a[0]/2 wird das konstante Glied eliminiert, sodass dann beid er Integration kein linearer Anteil erscheint.