Lösungen

1

Remove["Global`*"]

a

f1[x_]:=(x-1)(x+1)(x^2-1)+3x^3+6x^2+3x//Expand; f1[x]

f1'[x]

b

f2[x_]:=Sin[E^x-1] Sinh[x]; f2[x]

f2'[x]

c

f3[x_]:=(x+1)(x+3)/(x^2-1); f3[x]

f3[x]//Simplify

f3[x]//Expand

f3'[x]

f3'[x]//Simplify

d

f4[x_]:=(3x)^(2x); f4[x]

f4'[x]

f4'[x]//Simplify

%//N

e

4(x^3+1)/(5(x+1))-(E^(x+1)-1)/(x^2-1)//TraditionalForm

Limit[4(x^3+1)/(5(x+1))-(E^(x+1)-1)/(x^2-1),x-> -1]

2

Remove["Global`*"]

a

f5[x_]:=x Sin[x];
Tan[35 °]//N

x0=x/.FindRoot[Evaluate[f5'[t]-Tan[35 Degree]==0]/.t->x,{x,1}]

y0=f5[x0]

x1=x/.FindRoot[Evaluate[f5'[t]-Tan[35 Degree]==0]/.t->x,{x,3}]

y1=f5[x1]

Es existieren weitere (beliebig viele) Lösungen, denn der Sinus ist periodisch. Beispiele:

x2=x/.FindRoot[Evaluate[f5'[t]-Tan[35 Degree]==0]/.t->x,{x,100}]

x3=x/.FindRoot[Evaluate[f5'[t]-Tan[35 Degree]==0]/.t->x,{x,80}]

Join[{{"Nummer q ","Wert xq "}},Table[{q,xq=x/.FindRoot[Evaluate[f5'[t]-Tan[35 Degree]==0]/.t->x,{x,q}]},{q,0.5,100,1}]]//TableForm

b

f6[x_,a_]:=a x^2 ;

f6[x0,a]==y0

a=a/.(Solve[f6[x0,a]==y0,a]//Flatten)

f6[x_]:=f6[x,a]; f6[x]

a1=a1/.(Solve[f6[x1,a1]==y1,a1]//Flatten)

f6[x,a1]

Plot[{f6[x],f5[x]},{x,0.366,0.367}]

Plot[{f6[x],f5[x]},{x,0,0.4}]

Plot[{f6[x],f5[x]},{x,-2,2}]

3

Remove["Global`*"]

a

f7[x_]:=E^x-Cos[x]-2;
Plot[f7[x],{x,0,2}]

x[0]=1.;
x[n_]:=x-f7[x]/f7'[x]/.x->x[n-1];
Table[{n,x[n]},{n,0,4}]//TableForm

4

Remove["Global`*"]

a

f8[x_]:=1/2 (x-2)(x-3)(x+4);
f8[x]//Expand

f9[x_,b_]:=(x-2)(x-b)(x-5);
f9[x,b]//Expand

Solve[f8[x]-f9[x,b]==0,x]//Flatten

diskr[b_]:=73+4 b+4 (b^2);
Plot[diskr[b],{b,-1,0}]

Solve[73+4 b+4 (b^2)==0,b]

Solve[2==(1/2) (11+2 b-(Sqrt[73+4 b+4 (b^2)])),b]

Solve[2==(1/2) (11+2 b+(Sqrt[73+4 b+4 (b^2)])),b]

Resultat : Bei x = 2 ist immer ein Schnittpunkt vorhanden.
   Da obige Diskriminante immer positiv ist, gibt es immer  drei Schnittpunkte, ausser im Falle b = 1, da dort 2 Schnittpunkte zusammenfallen

Plot[{f8[x],f9[x,1]},{x,-5,5}]

Plot[{f8[x],f9[x,1]},{x,-1,5}]

Plot[{f8[x],f9[x,4]},{x,-1,5}]

Plot[{f8[x],f9[x,-4]},{x,-1,8}]

b

Solve[f8'[x]==0,x]

N[%]

c

Solve[f8''[x]==0,x]

N[%]

d

Solve[f8'[x]==Tan[Pi/4],x]

5

Remove["Global`*"]

a

f10[x_]:=x^2;
sh[x_]:=Sqrt[(2x)^2];
su[x_]:=Sqrt[x^2+f10[x]^2];su[x]

so=Solve[sh[x]==su[x],{x}]//Flatten

x1=x/.so[[2]]

%//N

x2=x/.so[[3]]

%//N

b

f10'[x]/.x->x1

%//N

f10'[x]/.x->x2

%//N

6

Remove["Global`*"]

a

f11[x_]:=20-10Cosh[x];
Plot[f11[x],{x,-2,2}]

Solve[f11[x]==0,x]

N[%]

x1=x/.FindRoot[f11[x]==0,{x,-1}]

b

DreieckFl[x_]:=(x-x1) f11[x]/2; DreieckFl[x]

FindRoot[ DreieckFl'[x]==0,{x,0}]

FindRoot[ DreieckFl'[x]==0,{x,-1}]

Plot[ DreieckFl'[x],{x,-2,1.5}]

Die Lösung ist  x = 0.47550229643917047`

7

Remove["Global`*"]

x  : 2.5 =(x+3) : y;   L^2=(x+3)^2+y^2 = (x^2+2.5^2)/x  *(x+3)

f12[x_]:=Sqrt[x^2+(2.5)^2] (x+3)/x; f12[x]

Plot[f12[x],{x,0,10}]

f12'[x]//Simplify

so1 = Solve[Evaluate[f12'[x]==0],{x}]

xMax=x/.so1[[3]]

Laenge=Sqrt[(xMax^2+2.5^2)]/xMax*(xMax+3)

WinkelInRad=ArcTan[2.5/xMax]

WinkelInGrad=ArcTan[2.5/xMax]/Degree

Das ist fast 45 Grad, jedoch nicht exakt 45 Grad!