Lösungen Test 3 1. Semester B1

1 Skizze?

f[x_]:=-1/2 x^2+x+6;
g[x_]:=2 x^2+x-6;
Plot[{f[x],g[x]},{x,-3,3}];

s1=Solve[f[x]==g[x],{x}]//Flatten

N[s1]

x1=x/.s1[[1]];x2=x/.s1[[2]];

Integrate[f[x]-g[x],{x,x1,x2}]

N[%]

2 Skizze?

Integrate[2-Sin[Pi x],{x,0,2}]

Plot[{2, 2-Sin[Pi x]},{x,0,2},PlotRange->{0,3}];

3 Bestimme die Stammfunktion

f[x_]:=Sinh[30x-15]; f[x]

Integrate[f[x],{x,-20,20}]

Integrate[f[x],{x,-20,20}]//N

4 Lässt sich die Stammfunktion bestimmen?
Lässt sich das Integral rechnen?

f[x_]:=x^(2/3) (-x)^(1/2)/x^(4/5); f[x]

Integrate[f[x],x]//Simplify

Plot[Evaluate[Re[Integrate[f[x],x]]],{x,0,-2}];

5 Skizze, berechne die Abweichung der beiden Flächen

f[x_] := Normal [Series[(Sqrt[x]), {x, 1, 5}]];  f[x]

Plot[Evaluate[{f[x], Sqrt[x]}], {x, 0, 5}];

{Integrate[f[x], {x, 0, 1}], Integrate[Sqrt[x], {x, 0, 1}]}

%//N

Integrate[
      Evaluate[Normal [Series[(Sqrt[x]), {x, 1, 5}]] - Sqrt[x]], {x, 0, 
        1}]

%//N

6 Skizze, berechne

Plot[{Sec[x],1/Cos[x]},{x,0,1}];

Plot[{Sec[x]^2/(1+Tan[x]^2)},{x,0,1}];

(Cos[x]^2 (1+b^2 Sin[x]^2/Cos[x]^2))//ExpandAll

D[ArcTan[b Tan[x]],x]

Integrate[-1/(1+Cos[x+α]^2),x]//Simplify

(Integrate[-1/(1+Cos[x+α]^2),x]/.x->-α)-(Integrate[-1/(1+Cos[x+α]^2),x]/.x->0)//Simplify

7 Skizze, berechne die Partialbruchzerlegung und eine Stammfunktion

Apart[(-3x^3+3x^2-x+1)/(x^2-x)]

Integrate[(-3x^3+3x^2-x+1)/(x^2-x),x]

8 Integriere von Hand

Integrate[x^2 Log[x],x]

9 Stammfunktion, integrieren

Integrate[Cos[x] Sin[Sin[x]],x]

Integrate[Cos[x] Sin[Sin[x]],{x,0,Pi}]

10 Stammfunktion, integrieren, exakt

Integrate[Cos[x]/E^Sin[x],x]

Integrate[Cos[x]/E^Sin[x],{x,0,Pi/2}]

Integrate[Cos[x]/E^Sin[x],{x,0,Pi/2}]//N

NIntegrate[Cos[x]/E^Sin[x],{x,0,Pi/2}]

11 a Länge Linie E^x

Integrate[Sqrt[1+E^(2x)],x]

Integrate[Sqrt[1+E^(2x)],{x,0,1}]

Integrate[Sqrt[1+E^(2x)],{x,0,1}]//N//Chop

11 b Volumen des Rotationskörpers

Integrate[Pi E^(2x),{x,0,1}]

%//N

Limit[Integrate[Pi E^(-2x),{x,0,a}],a->Infinity]

11 c Oberfläche des Rotationskörpers

Integrate[2 Pi E^x Sqrt[1+E^(2 x)],x]

Integrate[2 Pi E^x Sqrt[1+E^(2 x)],{x,0,1}]

%//N

Limit[Integrate[2 Pi E^x Sqrt[1+E^(2 x)],{x,-a,0}],a->Infinity]

%//N