Lösungen

1

Remove["Global`*"]

xVec[x_, y_] := {x, y};
mVec = {5, 4};  r = 2;
kreis[rVec_, r_] := rVec . rVec - r^2;

a) Pol und Polare

pol = {1, 1};
kreis[(xVec[x, y] - mVec), r] == 0

Expand[kreis[(xVec[x, y] - mVec), r]] == 0

<< Graphics`ImplicitPlot`

kPl = 
        ImplicitPlot[
          kreis[(xVec[x, y] - mVec), r] == 0, {x, 1, 
            8}];

polare[xVec_, mVec_, pol_, 
          r_] := (xVec[x, y] - mVec) . (pol - mVec) - 
          r^2;
polare[xVec, mVec, pol, r] == 0

Simplify[polare[xVec, mVec, pol, r]] == 0

solv = 
      Solve[{polare[xVec, mVec, pol, r] == 0, 
          kreis[(xVec[x, y] - mVec), r] == 0}, {x, y}]

solv1 = solv // N

pT1 = {x, y} /. solv1[[1]]

pT2 = {x, y} /. solv1[[2]]

polarePl = 
        ImplicitPlot[
          polare[xVec, mVec, pol, r] == 0, {x, 1, 8}];

Show[kPl, polarePl, 
        Graphics[{PointSize[0.04], Point[pol], Point[mVec], Point[pT2], 
            Point[pT1], Line[{pol, mVec}], Line[{pol, pT1}], 
            Line[{pol, pT2}]}]];

pT1 + t (pT2 - pT1)

b) Tangente

tangente[xVec_, mVec_, pT_, 
          r_] := (xVec[x, y] - mVec) . (pT - mVec) - 
          r^2;

Chop[Expand[polare[xVec, mVec, pT1, r]]] == 0

Chop[
        Expand[polare[xVec, mVec, pT1, r]] /. {x -> 1, 
            y -> 1}] == 0

Chop[Expand[polare[xVec, mVec, pT2, r]]] == 0

Chop[
        Expand[polare[xVec, mVec, pT2, r]] /. {x -> 1, 
            y -> 1}] == 0

Die Tangentialpunkte sind identisch mit den Schnittpunkten des Kreises mit der Polaren.

Show[kPl, polarePl, 
        Graphics[{PointSize[0.04], Point[pol], Point[mVec], Point[pT2], 
            Point[pT1], Line[{pol, mVec}], Line[{pol, pT1}], 
            Line[{pol, pT2}]}]];

pol + t (pT1 - pol)

pol + t (pT2 - pol)

c) Mittelpunktsgerade zum Pol

senkr[v_] := {-v[[2]], 
          v[[1]]};
geradePolM[xVec_, mVec_, pol_] := (xVec - mVec) . 
          senkr[pol - mVec];

    
Expand[geradePolM[xVec[x, y], mVec, pol]] == 0

solvz = 
      Solve[Expand[geradePolM[xVec[x, y], mVec, pol]] == 0, {y}] // 
        Flatten

yGer[x_] := y /. solvz;
gerPl = Plot[yGer[x], {x, 0, 7}];

Solve[{geradePolM[xVec[x, y], mVec, pol] == 0, 
        kreis[(xVec[x, y] - mVec), r] == 0}, {x, y}]

solv2 = 
      Solve[{geradePolM[xVec[x, y], mVec, pol] == 0, 
            kreis[(xVec[x, y] - mVec), r] == 0}, {x, y}] // 
        N

p1 = {x, y} /. solv2[[1]]

p2 = {x, y} /. solv2[[2]]

Show[kPl, polarePl, gerPl, 
        Graphics[{PointSize[0.04], Point[pol], Point[mVec], Point[pT2], 
            Point[pT1], Point[p1], Point[p2], Line[{pol, mVec}], 
            Line[{pol, pT1}], Line[{pol, pT2}]}]];

pol + t (mVec - pol)

d) Apollonius

Norm[p2 - pol]/Norm[p1 - pol]

Rationalize[Norm[p2 - pol]/Norm[p1 - pol]]

Norm[p1 - pol]/Norm[p1 - {x, yGer[x]}] == 
      Norm[p2 - pol]/Norm[p2 - {x, yGer[x]}]

solv3 = 
      Solve[(Norm[p1 - pol]/
                Norm[p1 - {x, yGer[x]}])^2 == (Norm[p2 - pol]/
                Norm[p2 - {x, yGer[x]}])^2, {x}]

pol1 = {x, yGer[x]} /. solv3[[1]]

pol2 = {x, yGer[x]} /. solv3[[2]]

Show[kPl, polarePl, gerPl, 
        Graphics[{PointSize[0.04], Point[pol], Point[mVec], Point[pT2], 
            Point[pT1], Point[p1], Point[p2], Point[pol2], Line[{pol, mVec}], 
            Line[{pol, pT1}], Line[{pol, pT2}]}]];

e) Potenzgerade

kreis1 = (kreis[(xVec[x, y] - mVec), r] == 0)

kreis2 = (kreis[(xVec[x, y] - pol), 2  r] == 
          0)

potenz1[x_, y_] := 
        kreis[(xVec[x, y] - mVec), r];
potenz2[x_, y_] := kreis[(xVec[x, y] - pol), 2  r];

Expand[potenz1[x, y]] == potenz2[x, y]

?Reduce

Reduce[Expand[potenz1[x, y]] == potenz2[x, y], {x, y}]

solv4 = 
      Solve[Reduce[Expand[potenz1[x, y]] == potenz2[x, y], {x, y}], {y}] // 
        Flatten

potenzGer[x_] := y /. solv4

potenzGer[x]

f) Schnittpunkte Potenzgerade mit Kreisen

kPl2 = ImplicitPlot[kreis2, {x, -6, 8}];

plPotGer = Plot[potenzGer[x], {x, 0, 8}];

Show[kPl2, plPotGer, kPl];

Die Potenzgerade geht durch die Schnittpunkte der beiden  Kreise.

solv11 = Solve[{y == potenzGer[x], kreis1}, {x, y}]

N[%]

sS1 = {x, y} /. solv11[[1]];
sS2 = {x, y} /. solv11[[2]];
{sS1, sS2} // N

Show[kPl2, plPotGer, kPl, 
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[sS1], Point[sS2]}]];

2

Remove["Global`*"]

B = {{1, 1}, {3, 2}};   B // MatrixForm

mD = {{1, 0}, {0, 2}};   mD // MatrixForm

mD10 = {{1^10, 0}, {0, 2^10}};   mD10 // MatrixForm

mD^10 // MatrixForm

a = {1, 2};  b = {1, 3};

a

B1 = Inverse[B];
B1 // MatrixForm

b

A = B . mD . Inverse[B];
A // MatrixForm

c

A2 = A . A;  A2 // MatrixForm

A10 = B . (mD^10) . Inverse[B];
A10 // MatrixForm

d

Det[A]

Det[mD]

e

A . a

A . b

f

A .   (λ a + μ b) // Simplify

g

flaechenProdukt[a_, b_] := Det[{a, b}];
flaechenProdukt[a, b]

h

flaechenProdukt[λ a, μ b]

i

flaechenProdukt[λ a, μ b]/
      flaechenProdukt[a, b]

3

Remove["Global`*"]

OA = {0, 0};
OB = {10, 0};
OC = {3, 8};

Show[
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
            Line[{OA, OB, OC, OA}]}], 
        AspectRatio -> Automatic];

a) Höhenschnittpunkt

AB = OB - OA;
BC = OC - OB; 
CA = OA - OC;

BA = -AB;  CB = -BC;  AC = -CA;

normalV[x_] := {-x[[2]], x[[1]]};

nAB = normalV[AB];
nBC = normalV[BC];
nCA = normalV[CA];

hC[t_] := OC + t nAB;
hB[s_] := OB + s nCA;
solv3 = Solve[hC[t] == hB[s], {t, s}] // Flatten

schnittH = hC[t] /. solv3

N[%]

Show[
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
            Point[schnittH], Line[{OA, OB, OC, OA}], 
            Line[{OA, schnittH + (schnittH - OA)}], 
            Line[{OB, schnittH + 0.5 (schnittH - OB)}], 
            Line[{OC, schnittH + 0.5 (schnittH - OC)}]}], 
        AspectRatio -> Automatic];

b) Schwerlinienschnittpunkt

sC[t_] := 
        OA + 1/2 AB + 
          t (OC - (OA + 1/2 AB));
sB[s_] := 
        OC + 1/2 CA + 
          s (OB - (OC + 1/2 CA));
solve31 = Solve[sC[t] == sB[s], {t, s}] // Flatten

schnittS = sC[t] /. solve31

N[%]

Show[
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
            Point[schnittS], Line[{OA, OB, OC, OA}], 
            Line[{OA + 1/2 AB, OC}], Line[{OB + 1/2 BC, OA}], 
            Line[{OC + 1/2 CA, OB}]}], 
        AspectRatio -> Automatic];

c1) Umkreismittelpunkt

uC[t_] := OA + 1/2 AB + t nAB;
uB[s_] := OC + 1/2 CA + s nCA;
solve32 = Solve[uC[t] == uB[s], {t, s}] // Flatten

N[%]

schnittU = (uC[t] /. solve32) // Simplify

N[%]

Show[
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
            Point[schnittU], Line[{OA, OB, OC, OA}], 
            Line[{OA + 1/2 AB, schnittU}], Line[{OB + 1/2 BC, schnittU}], 
            Line[{OC + 1/2 CA, schnittU}], 
            Circle[schnittU, 
              Sqrt[(schnittU - OA) . (schnittU - OA)]]}], 
        AspectRatio -> Automatic];

d) Lineare Abhängigkeit

Show[
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
            Point[schnittU], Point[schnittH], Point[schnittS], 
            Line[{OA, OB, OC, OA}], Line[{schnittU, schnittH, schnittS}]}], 
        AspectRatio -> Automatic];

Solve[
      schnittS - 
          schnittH == λ (schnittU - 
              schnittS), {λ}]

Solve[
      schnittS - 
          schnittH == λ (schnittU - 
              schnittH), {λ}]

Linear abhängig

e) Verhältnis

Solve[
      schnittH - 
          schnittU == λ ( 
            schnittS - schnittU), {λ}]

c1) Inkreismittelpunkt

mC[t_] := 
        OC + t (CA/Norm[CA] + CB/Norm[CB]);
mB[s_] := 
        OB + s (BA/Norm[BA] + BC/Norm[BC]);
solve33 = Solve[mC[t] == mB[s], {t, s}] // Flatten

N[%]

schnittI = (mC[t] /. solve33) // Simplify

N[%]

Show[
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
            Point[schnittI], Line[{OA, OB, OC, OA}], Line[{OA, schnittI}], 
            Line[{OB, schnittI}], Line[{OC, schnittI}]}], 
        AspectRatio -> Automatic];

f) Der Ausdruck h

a = OA - schnittU;
b = OB - schnittU;
c = OC - schnittU;
h = a + b + c

N[%]

s3 = h/3

N[%]

(schnittH + schnittS)/2

(schnittH + schnittS)/2 == schnittS + s3

g) Der Umkreis vom Dreieck SaSbSc

Sc = OA + 1/2 AB;
Sb = OA + 1/2 AC;
Sa = OC + 1/2 CB;

uSc[t_] := 
        Sb + 1/2 (Sa - Sb) + 
          t normalV[Sa - Sb];
uSa[s_] := 
        Sc + 1/2 (Sb - Sc) + 
          s normalV[Sb - Sc];
solve35 = Solve[uSc[t] == uSa[s], {t, s}] // Flatten

N[%]

schnittSU = (uSc[t] /. solve35) // Simplify

N[%]

sh1 = 
        Show[Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
              Point[Sa], Point[Sb], Point[Sc], 
              Line[{Sa, Sb, Sc, Sa}], 
Point[schnittSU], 
              Line[{OA, OB, OC, 
                  OA}], 
Line[{Sa + 1/2 (Sb - Sa), 
                  schnittSU}], Line[{Sb + 1/2 (Sc - Sb), schnittSU}], 
              Line[{Sc + 1/2 (Sa - Sc), schnittSU}], 
              Circle[schnittSU, 
                Sqrt[(schnittSU - Sa) . (schnittSU - Sa)]]}], 
          AspectRatio -> Automatic];

rSU = Sqrt[(schnittSU - Sa) . (schnittSU - Sa)]

N[%]

h) Der Umkreis vom Dreieck HaHbHc

hC[t_] := OC + t nAB;  
    seiteC[s_] := OA + s AB;
solv36 = 
        Solve[hC[t] == seiteC[s], {t, s}] // 
          Flatten;
Hc = seiteC[s] /. solv36

hB[t_] := OB + t nCA;  
    seiteB[s_] := OA + s AC;
solv37 = 
        Solve[hB[t] == seiteB[s], {t, s}] // 
          Flatten;
Hb = seiteB[s] /. solv37

N[%]

hA[t_] := OA + t nBC;  
    seiteA[s_] := OB + s BC;
solv38 = 
        Solve[hA[t] == seiteA[s], {t, s}] // 
          Flatten;
Ha = seiteA[s] /. solv38

uHc[t_] := 
        Hb + 1/2 (Ha - Hb) + 
          t normalV[Ha - Hb];
uHa[s_] := 
        Hc + 1/2 (Hb - Hc) + 
          s normalV[Hb - Hc];
solve39 = Solve[uHc[t] == uHa[s], {t, s}] // Flatten

N[%]

schnittHU = (uHc[t] /. solve39) // Simplify

N[%]

sh2 = 
        Show[Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
              Point[Ha], Point[Hb], Point[Hc], 
              Line[{Ha, Hb, Hc, Ha}], 
Point[schnittHU], 
              Line[{OA, OB, OC, 
                  OA}], 
Line[{Ha + 1/2 (Hb - Ha), 
                  schnittHU}], Line[{Hb + 1/2 (Hc - Hb), schnittHU}], 
              Line[{Hc + 1/2 (Ha - Hc), schnittHU}], 
              Circle[schnittHU, 
                Sqrt[(schnittHU - Ha) . (schnittHU - Ha)]]}], 
          AspectRatio -> Automatic];

Show[sh1, sh2];

rHU = Sqrt[(schnittHU - Ha) . (schnittHU - Ha)]

N[%]

rHU == rSU

schnittHU == schnittSU

Gefunden ist derselbe Kreis. Dieser Kreis heisst Feuerbachkreis.

i) Lineare Abhängigkeit

Show[
        Graphics[{PointSize[0.03], Point[OA], Point[OB], Point[OC], 
            Point[schnittU], Point[schnittH], Point[schnittS], 
            Point[schnittHU], Line[{OA, OB, OC, OA}], 
            Line[{schnittU, schnittH, schnittS}]}], 
        AspectRatio -> Automatic];

Solve[
      schnittU - 
          schnittH == λ (schnittU - 
              schnittHU), {λ}]

Linear abhängig

j) Das Verhältnis

verhaeltnis = 
      Norm[schnittH - schnittU]/Norm[schnittHU - schnittU]

4

Remove["Global`*"]

OA = {0, 0, 1};
OB = {10, 0, 1};
OC = {3, 8, 3};
OD = {1, 2, 8};

a

volumen = 1/6 Abs[ Det[{OA - OD, OB - OD, OC - OD}]]

N[%]

grundflG = Norm[Cross[OA - OC, OB - OC]]/2

N[%]

hD = 3 volumen/grundflG

N[%]

b

h[t_] := 
        OD + t Cross[OA - OC, OB - OC];
h[t]

fG[λ_, μ_] := 
        OC + λ (OA - OC) + μ (OB - 
                OC);
fG[λ, μ]

solv4 = 
      Solve[h[t] == fG[λ, μ], {t, λ, μ}] // 
        Flatten

HD = h[t] /. solv4

N[%]

c

ODneu = OC + (OD - HD)

N[%]