Lösungen

1

Remove["Global`*"]

v1[t1_] := {-2, 1, -1} + 
          t1 {-1, 2, 1};
v2[t2_] := {1, 4, 2} + t2 {-2, 4, 2};

Solve[k  {-1, 2, 1} == {-2, 4, 2}, {k}]

==>  Geraden parallel  ==> Abstand:

a = 
      Norm[Cross[(v1[0] - v2[0]),  {-1, 2, 1}]]/
        Norm[ {-1, 2, 1}]

N[%]

2

Remove["Global`*"]

ϕ in den Ursprung verschoben, Verschiebungsvektor:

vVersch = -{-1, 1, 2};

OQ = {5, 15, 1};
OQversch = OQ + vVersch

ϕ in den Ursprung verschoben, dann Spiegelungsmatrix

aVec = {1, 2, 1};  bVec = {2, 1, -1};  
    cVec = Cross[aVec, bVec]

Φ[λ_, μ_] := -vVersch + λ aVec + μ bVec;

mX = Transpose[{aVec, bVec, cVec}];  mX // MatrixForm

Dλ = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, -1}};  
    Dλ // MatrixForm

mS = mX . Dλ . Inverse[mX]; mS // MatrixForm

PStrichVersch = mS . OQversch

LVersch = (PStrichVersch + OQversch)/2

PStrich = PStrichVersch - vVersch

a

Lvec = LVersch - vVersch

Kontrolle ob Lvec in Φ liegt :

Solve[Φ[λ, μ] ==  
        Lvec, {λ, μ}]

(OQ - Lvec) . (aVec)

(OQ - Lvec) . (bVec)

b

PStrichStrich = Lvec + 2 (PStrich - Lvec)

3

Remove["Global`*"]

Vektornormierung

nor[m_] := 
      Table[m[[k]]/Norm[m[[k]]], {k, 1, Length[m]}]

Daten

M1 = {{-11, 8}, {8, 1}};  M1 // MatrixForm

M2 = {{2, -6}, {-6, -7}};  M2 // MatrixForm

a

ew1 = Eigenvalues[M1]

b

ev1 = Eigenvectors[M1]

nor[ev1]

nor[ev1] // N

c

ew2 = Eigenvalues[M2]

d

ev2 = Eigenvectors[M2]

nor[ev2]

nor[ev2] // N

e

Ein Eigenwert gleich
Eigenvektoren gleich

f

M1 . M2 // MatrixForm

M2 . M1 // MatrixForm

Identisch beim Vertauschen von Faktoren

g

ew3 = Eigenvalues[M1 . M2]

{-10, 5},  {-15,5},  {-75,-50}
5 * (-15) = -75
5 * (-10) = -50

h

ev3 = Eigenvectors[M1 . M2]

nor[ev3]

nor[ev3] // N

Eigenvektoren wie bei M1 und bei M2

i

ew4 = Eigenvalues[M1 . M2 . M1]

{-15, 5},   {-10, 5},  {-15, 5},         {1125, -250}
 (-15) *  5 * (-15) = 1125
5 * (-10) * 5  = -250

ev4 = Eigenvectors[M1 . M2 . M1]

nor[ev4] // N

4

Remove["Global`*"]

Vektornormierung

nor[m_] := 
      Table[m[[k]]/Norm[m[[k]]], {k, 1, Length[m]}]

Daten

a1 = {1, 1, 1};  a2 = {1, -1, 1};  
    a3 = {1, 1, -1};
b1 = 2 a1;
OQ  =  {0, -2, 2};

A = Transpose[{a1, a2, a3}];  A // MatrixForm

B = Transpose[{b1, a2, a3}];  B // MatrixForm

a

ew1 = Eigenvalues[A]

b

ew2 = Eigenvalues[B]

% // N

c

Der Eigenwert  -2  ist gemeinsam

d

ev1 = Eigenvectors[A]

nor[ev1] // N

ev2 = Eigenvectors[B]

nor[ev2] // N

Der Eigenvektor  {0,-1,1}  zum Eigenwert -2 ist gemeinsam

e

ew3 = Eigenvalues[A . B]

% // N

ew3 = Eigenvalues[B . A]

% // N

Gleiche Eigenwerte

f

Apply[Plus, Eigenvalues[A]]

Apply[Plus, Eigenvalues[B]]

Apply[Plus, Eigenvalues[A . B]] // Simplify

Apply[Plus, Eigenvalues[B . A]] // Simplify

Gleiche Eigenwerte von A.B und B.A ==> gleiche Summen

g

Apply[Times, Eigenvalues[A]]

Apply[Times, Eigenvalues[B]] // Simplify

Apply[Times, Eigenvalues[A . B]] // Simplify

Apply[Times, Eigenvalues[B . A]] // Simplify

Gleiche Eigenwerte von A mal Eigenwerte von B gleich Eigenwerte von B.A oder A.B

h

Det[A]

Det[B]

Det[A . B]

Det[B . A]

Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte: Resultate der vorangehenden Teilaufgabe

i

OP1  = A . OQ

OP2  = B . OQ

OQ ist Eigenvektor von A und von B !!!!

5

Remove["Global`*"]

Daten

v1 = -{-1, 3, 1};   v2 = -{1, -4, 
          0};
OP = {-1, 2, 3};
v3 = Cross[v1, v2]

OP = {-1, 2, 3};

a

mX = Transpose[{v1, v2, v3}];  mX // MatrixForm

Dλ = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, -1}};  
    Dλ // MatrixForm

mS = mX . Dλ . Inverse[mX]; mS // MatrixForm

N[%] // MatrixForm

b

OP1 = mS . OP

N[%]

c

Dreh[φ_] := {{Cos[φ], -Sin[φ], 
          0}, {Sin[φ], Cos[φ], 0}, {0, 0, 1}}; 
    Dreh[Pi/5] // MatrixForm

N[%] // MatrixForm

d

OP2 = Dreh[Pi/5] . OP1

N[%]

e

OP3 = mS . OP2 // N

f

Dλ1 = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}};  
    Dλ1 // MatrixForm

mP = mX . Dλ1 . Inverse[mX]; mP  // MatrixForm

N[mP]  // MatrixForm

g

mP . OP3 // N

6

Remove["Global`*"]

transl = {{1, 0, 5}, {0, 1, 8}, {0, 0, 
            1}};
transl // MatrixForm

transl . {0, 0, 1}

transl . {-5, -8, 1}

7

Remove["Global`*"]

A.(A+X).A+A+(A^(-1)) = A.(A^T)+E

==>   (A^(-1)).A.(A+X).A.(A^(-1))+(A^(-1)).A.(A^(-1))+(A^(-1)).(A^(-1)).(A^(-1)) = (A^(-1)).A.(A^T).(A^(-1))+(A^(-1)).E.(A^(-1))

==>  A+X+(A^(-1))+(A^(-3)) = (A^T).(A^(-1))+(A^(-2))

==>  X  = (A^T).(A^(-1))+(A^(-2))-A-(A^(-1))-(A^(-3)) =  (A^T).(A^(-1)) - A - (A^(-1)) + (A^(-2))  - (A^(-3))