Lösungen

1

Remove["Global`*"];

a Gerade Funktion ==> Cosinusreihe

f1[t_] := Sin[t];   f1New[t_] := 
      Sqrt[(f1[t])^2];
Plot[Evaluate[f1New[t]], {t, -2 Pi, 2  Pi}];

b  Die ersten 6 Fourierkoeffizienten, Graphik

T =  Pi;
cc = 0;
f1[t_] := Sin[t];   f1New[t_] := 
      Sqrt[f1[t]^2]
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[f1[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            f1[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            f1[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
c[k_] := 
        1/T Integrate[
            f1[t] E^(-I k ω t), {t, cc, 
              cc + T}];
ffInf[t_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              Infinity}];
fFh[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
fFInf[t_] := 
        Sum[c[n] E^(I n ω t), {n, -Infinity, 
            Infinity}];
fFh[t_, h_] := 
        Sum[c[n] E^(I n ω t), {n, -h, 
            h}];
fFh[t, 6]

% // N

fFh[t_, 6] := 
      (2/π) - ((4 Cos[2 t])/(3 π)) - ((4 Cos[4 t])/(15 π)) - ((4 Cos[6 t])/(35 π)) - ((4 Cos[8 t])/(63 π)) - ((4 Cos[10 t])/(99 π)) - ((4 Cos[12 t])/(143 π))

N[%]

Plot[fFh[t, 6], {t, 0, 2  Pi}];

Plot[{fFh[t, 6], f1New[t]}, {t, 0, 2  Pi}];

c  Die ersten 6 Fourierkoeffizienten von |Sin(t)| = (Sqrt[Sin])[t]^2= f[t]     ( ==> dieselbe Funktion!! )

a[0]/2

a[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

b[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

fF2h[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
fF2h[t, 6]

N[%]

Plot[fF2h[t, 6], {t, 0, 2  Pi}];

d Gleiche Funktion

f3[t_] := (Abs[Sin[t]] + Sin[t])/2

Plot[f3[t], {t, 0, 4  Pi}];

fF3h[t_, h_] := (fFh[t, h] + Sin[t])/
          2;
fF3h[t, 6]

N[%]

Plot[Evaluate[fF3h[t, 6]], {t, 0, 4  Pi}, 
        PlotRange -> {0, 1}];

e

f4Dh[t_, h_] := 
        D[a[0]/2 + 
            Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
                h}], t];
f4Dh[t, 6]

N[%]

Plot[Evaluate[f4Dh[t, 6]], {t, 0, 2  Pi}];

f4D[t_] := D[Sqrt[Sin[t]^2], t];
Plot[Evaluate [f4D[t]], {t, 0, 4  Pi}];

2

Remove["Global`*"];

a

T = 2;
cc  = 0;
g1[t_] := t;
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[g1[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            g1[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            g1[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
gG1h[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
gG1h[t, 10]

N[%]

gG1hZ[t_, 10] := 
      1 - ((2 Sin[π t])/π) - 
        Sin[2 π t]/π - ((2 Sin[3 π t])/(3 π)) - 
        Sin[4 π t]/(2 π) - ((2 Sin[5 π t])/(5 π)) - 
        Sin[6 π t]/(3 π) - ((2 Sin[7 π t])/(7 π)) - 
        Sin[8 π t]/(4 π) - ((2 Sin[9 π t])/(9 π)) - Sin[10 π t]/(5 π)

Plot[gG1hZ[t, 10], {t, -4, 4}];

b1   g2[t] = t^2

T = 2;
cc  = 0;
g3[t_] := t^2;
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[g3[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            g3[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            g3[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
gG3h[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
gG3h[t, 10]

N[%]

gG3hZ[t_, 10] := 
      (4/3) + ((4 Cos[π t])/(π^2)) + 
        Cos[2 π t]/(π^2) + ((4 Cos[3 π t])/(9 (π^2))) + Cos[4 π t]/(4 (π^2)) + ((4 Cos[5 π t])/(25 (π^2))) + Cos[6 π t]/(9 (π^2)) + ((4 Cos[7 π t])/(49 (π^2))) + Cos[8 π t]/(16 (π^2)) + ((4 Cos[9 π t])/(81 (π^2))) + 
        Cos[10 π t]/(25 (π^2)) - ((4 Sin[π t])/π) - ((2 Sin[2 π t])/π) - ((4 Sin[3 π t])/(3 π)) - 
        Sin[4 π t]/π - ((4 Sin[5 π t])/(5 π)) - ((2 Sin[6 π t])/(3 π)) - ((4 Sin[7 π t])/(7 π)) - 
        Sin[8 π t]/(2 π) - ((4 Sin[9 π t])/(9 π)) - ((2 Sin[10 π t])/(5 π))

Plot[gG3hZ[t, 10], {t, -4, 4}];

Plot[{gG3hZ[t, 10], t^2}, {t, 0, 2}];

b2   g2[t] = t^2  ---  Achtung: Die folgende Mehtode ist trickreich:

gG2hZa[t_, 10] := 
        2 Integrate[gG1hZ[t, 10], t];
gG2hZa[t, 10] // Expand

Hier stört der Term t, der nicht zu einer Fourierreihe gehört. Man kann ihn aber durch die ursprünlgiche Fourierreihe ersetzen:

gG2hZb[t_, 10] := (gG2hZa[t, 10] // Expand ) -  
          2  t ;
gG2hZb[t, 10]

gG2hZ[t_, 10] := 
        gG2hZb[t, 10] +  2 gG1hZ[t, 10];
gG2hZ[u, 10]

N[%]

Plot[Evaluate[gG2hZ[u, 10]], {u, -4, 4}];

Plot[Evaluate[{gG2hZ[u, 10], u^2}], {u, 0, 2}];

Man hat hier erst die Funktion bis auf die Integrationskonstante gefunden. Die Integrationskonstante muss noch bestimmt werden etwa durch Normierung der Funktion bei 1: gG2hZ[1,10] + c = 1

solv = 
      Solve[(gG2hZ[u, 10] + c == 1) /. u -> 1, {c}] // 
        Flatten

(c = c /. solv) // N

gG4hZ[u_, 10] := gG2hZ[u, 10] + c;
gG4hZ[u, 10]

gG4hZ[u, 10] // N

Plot[Evaluate[{gG4hZ[u, 10], u^2}], {u, 0, 2}];

3

a

\(Aus\ Aufgabe\ 1 : \ \(\(|\)\(Sin \((t)\)\)\(|\)\)\  = \ \(fF[
          t] = \(\(2\/π - \(4\ Cos[2\ t]\)\/\(3\ π\) - \(4\ Cos[4\ t]\)\/\(15\ π\) - \(4\ Cos[6\ t]\)\/\(35\ π\) - \(4\ Cos[8\ t]\)\/\(63\ π\) - \(4\ Cos[10\ t]\)\/\(99\ π\) - \(4\ Cos[12\ t]\)\/\(143\ π\) -  ... \)\(.\)\)\)\)
\(\(\(===\)\(\(>\)\(\ \ \)\(0\)\)\) = \ \(Sin[
          0] = \ \(\(2\/π - \(4\ Cos[0]\)\/\(3\ π\) - \(4\ Cos[0]\)\/\(15\ π\) - \(4\ Cos[0]\)\/\(35\ π\) - \(4\ Cos[0]\)\/\(63\ π\) - \(4\ Cos[0]\)\/\(99\ π\) - \(4\ Cos[0]\)\/\(143\ π\) -  ... \)\(.\)\)\)\)
\(\(\(===\)\(\(>\)\(\ \ \)\(2\/π\)\)\)\  = \ \(\(\(4\/π\ \((\(1\/3 + 1\/15 + 1\/35 + 1\/63 + 1\/99 + 
                        1\/143 -  ... \)\(.\)\ )\)\ \ \  === \(\(>\)\(\ \ \)\(1\/3 + 1\/15 + 1\/35 + 1\/63 + 1\/99 + 1\/143 - \)\) ... \)\(.\)\)\  = \ 
        1\/2\)\)
===>  (1/15) + (1/35) + (1/63) + (1/99) + 
                (1/143) -  ... .  =  (1/2) - (1/3)  =  
        (1/6)

Sum[1/((2  k + 1) (2  k + 3)), {k, 1, Infinity}]

b   Sehr einfaches Beispiel mit nicht so rascher Konvergenz:
     Gerade y = t mit den Grundbereich für die Periode von 0 bis 2  π

Remove["Global`*"];

T =  2  Pi;
cc = 0;
Gerade1[t_] := t
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[
            Gerade1[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            Gerade1[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            Gerade1[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
c[k_] := 
        1/T Integrate[
            Gerade1[t] E^(-I k ω t), {t, cc, 
              cc + T}];
Gerade1Gh[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
Gerade1Gh[t, 100]

Plot[Evaluate[Gerade1Gh[t, 100] // N], {t, 0, 4  Pi}];

Gerade1Gh[Pi/2, 100]

Es gilt:   Gerade1Gh[π/2,100] ist ungefähr  π/2.   Die in der Reihe vorkommenden Sinus- und Cosinus-Werte lassen sich an der Stelle  k/2 π  alle exakt  berechnen.

Es gilt dann:   π/2 ist ungefähr  Gerade1Gh[Pi/2,100].  Diese Approsimationsgleichung lässt sich algebraisch nach Pi auflösen:

piUngefaehr  =  -2 (Gerade1Gh[Pi/2, 100] - Pi)

N[%]

Nicht sehr genau mit 101 Koeffizienten!!

Setzt man  π/2 in die Sinusreihe ein, so bekommt man π/2. Die Sinuswerte werden dann 1 oder -1 oder 0. Damit lässt sich π approximieren.

4 (Sum[(-1)^(k + 1)/(2  k - 1), {k, 1, 
            Infinity}])

4

a

Remove["Global`*"];

u[t_, x_, c_, a_, b_] := c E^(-a t) Sin[b x]

D[u[t, x, c, a, b], {t, 1}]

D[u[t, x, c, a, b], {x, 2}]

Solve[
      Evaluate[D[u[t, x, c, a, b], {t, 1}] == 
          D[u[t, x, c, a, b], {x, 2}]], {a}]

u[t, 0, c, a, b]

u[Pi, 0, c, a, b]

Die Funktion löst die Gleichung falls a  =  (b^2) gilt .

b

Eine Linearkombination von Lösungen ist wieder Lösung, da 
1.   der Differentaloperator ein linearer Operator ist und da 
2.   die Randbedingungen wegen dem Wert 0 bei Linearkombinationen erhalten bleiben.

c

Bei fixem t gilt   u[t,x,c,a,b] = c E^(-a t_fix)  Sin[b x].
Falls  die b natürliche Zahlen sind, so hat man eine Fourierreihe mit den Koeffizienten c E^(-a t_fix). 
Die a wären damit Quadratzahlen von natürlichen Zahlen.

5

Remove["Global`*"];

h1[t_] := 
        UnitStep[t + Pi/2] - UnitStep[t - Pi/2];
Plot[h1[t], {t, -3, 3}];

v1[t_] := Cos[t] h1[t];
Plot[v1[x], {x, -3, 3}];

v2[t_] := 
        Pi (UnitStep[t + 1] - 
              UnitStep[t - 1]);
Plot[v2[x], {x, -3, 3}];

a   Achtung Faktor (1/(Sqrt[π])) bei anderer Definition der Fouriertransformation!!!

1/(2  Pi) Integrate[
        Cos[t]  E^(-I Ω t), {t, -Pi/2, 
          Pi/2}]

Mit andererem üblichen Normierungsfaktor

FourierTransform[v1[t], t, ω] // Simplify

b   Siehe Skript Mathematik II, z.B. deutsche Version Seite 121

Dort findet man eine ähnliche D'Gl., in der sich v2[t] nur um den Faktor π unterscheidet:   v2[t] = π f[t]. Multipliziert man die dortige Lösung mit  π, so erhält man die Lösung zum vorliegenden Problem.

Hier mit der symmetrischen Faktornormierung:

FourierTransform[v2[t], t, ω] // Simplify

(FourierTransform[y'[t], t, ω] + 
          FourierTransform[y[t], t, ω]) /. 
      FourierTransform[y[t], t, ω] -> Y[ω]

Solve[
        Y[ω] - I ω Y[ω] == (((Sqrt[2 π]) Sin[ω])/ω), {Y[ω]}] // Flatten

InverseFourierTransform[(((Sqrt[2 π]) ω Sin[ω] + I (Sqrt[2 π]) (ω^2) Sin[ω])/((ω^2) + (ω^4))), {ω}, {t}] // Simplify

pl1 = 
        Plot[((π (E Sign[1 - t] + E Sign[1 + t] + 2 (Cosh[t] - Sinh[t]) ((E^2) UnitStep[-1 + t] - UnitStep[1 + t])))/(2 E)), {t, -3, 2.4}];

Lösung aus dem Skript auf elementare Weise:

s[x_] := 0  /;  x < -1;
s[
          x_] := (1 - E^(-(x + 1))) 
            Pi  /;  ((x ≥  -1)  &&  (x <  
                  1));
s[
          x_] := (E^(1 - x) - E^(-(x + 1))) 
            Pi  /;  (x ≥   1);
?s

ta = Table[{x, s[x] // N}, {x, -2, 5, 0.1}] // Chop

pl2 = ListPlot[ta, PlotJoined -> True];

Vergleich beider Plots:  die Plots decken sich

Show[pl1, pl2, PlotRange -> {0, 2.7}];

6

Die Antworten auf die gestellten Fragen finden sich dargestellt im  Skript Mathematik II,z.B.deutsche Version Seite 111.