Studiere die Beispiele!

1. Plots ungewohnter Funktionen

f0[x_] := Sin[E^x] ;  Plot[f0[x], {x, -4, 4}];

f1[x_] := Floor[Sin[E^x]] ;  Plot[f1[x], {x, -4, 4}];

f2[x_] := Floor[Sin[E^x]] x^2 ;  
    Plot[f2[x], {x, -4, 4}];

f3[x_] := Floor[Sin[E^x]] x^2  +  Tan[x];  
    Plot[f3[x], {x, -4, 4}];

Plot[x Floor[1 - x] + Floor[1 + x], {x, -3, 3}];

2. Umkehrfunktionen

g1[x_] := Cosh[x]; Plot[g1[x], {x, -4, 4}];

Options[Plot]

Plot der Funktion und Umkehrfunktion:

h1[x_] := ArcCosh[x]; 
    Plot[{g1[x], x, h1[x]}, {x, 0.001, 2}, AspectRatio -> Automatic, 
      PlotRange -> {0, 2}];

?Log

Plot der Funktion und Umkehrfunktion:

g2[x_] := 2^x;
h2[x_] := Log[2, x];
Plot[{g2[x], x, h2[x]}, {x, -1, 2}, 
        AspectRatio -> Automatic, 
        PlotRange -> {-1, 2}];

Remove[x, y, s, g3, h3, p]

g3[x_] := x^2 - 2  x  + 3;
Plot[{g3[x]}, {x, -1, 2}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Solve[g3[x] - 2 == 0, {x}]

===> Minimum in 1

Solve[g3[x] == y, {x}]

s = Solve[g3[x] == y, {x}]  //  Flatten

x = x  /. s[[2]]

h3[y_] = x   ;  h3[z]

h3[q]

Plot der Funktion und Umkehrfunktion (Skalierung!):

p = 
        Plot[{g3[x], x, h3[x]}, {x, 2, 2.5}, 
          AspectRatio -> Automatic];

Achtung Skalierungen!

ShowPlot[{p, Plot[{g3[x], x, h3[x]}, {x, 0, 2.5}, 
              AspectRatio -> Automatic];}];

h[w_] :=  (h1[w] - h2[w])/h3[w];
h[w]

Wo ist h[w] definiert?

Plot[h[w], {w, -1, 3}];

Geht nur für w grösser gleich 2. Wieso?

Plot[h[w], {w, 2, 3}];

3. Asymtote, Pole, Nullstellen, Definitionsbereich, ungefährer Wertebereich

Remove[x]

a[
          x_] := (x^3 - 2  x^2 + 4  x - 5)/(x^2 + 8  x - 
              6);
a[x]

Division:

Apart[a[x]]

Pole:

Solve[-6 + 8 x + (x^2) == 0, {x}]

Solve[-6 + 8 x + (x^2) == 0, {x}] // N

Asymptote:

Plot[{-10 + x, a[x]}, {x, -9, 1}];

Plot[{-10 + x, a[x]}, {x, -50, 50}];

Nullstellen:

Solve[((-5 + 4 x - 2 (x^2) + (x^3))/(-6 + 8 x + (x^2))) == 0, {x}]

Solve[((-5 + 4 x - 2 (x^2) + (x^3))/(-6 + 8 x + (x^2))) == 0, {x}] // N

Solve[-5 + 4 x - 2 (x^2) + (x^3) == 0, {x}] // N

Einzige reelle Nullstelle: Etwa 1.525957480649296

Definitionsbereich

Wertebereich

Solve[
      y == ((-5 + 4 x - 2 (x^2) + (x^3))/(-6 + 8 x + (x^2))), {x}]

x kann nicht als Funktion von y berechnet werden. Graphisch kommmt man weiter:

Plot[a[x], {x, -25, -10}];

Plot[a[x], {x, -1, 0}];

Zwichen ca. y = -38 und y = +0.77 gibt es keine Werte.

4. Zusammengesetzte Funktionen

Remove[u]

u[t_] := 
        ArcCos[t]  /;  (0 <  t  &&  
              t  <  Pi/2);
u[t_] := 
        Cos[t]           /;  ( 
            t  ≤  0);
u[t_] := E^t  /;  (+Pi/2 <=  t);

Plot[u[x], {x, -Pi, 2}];

p1 = Plot[u[x], {x, -Pi, 1}];

p2 = Plot[u[x], {x, Pi/2, 2.2}];

Show[p1, p2];

5. Rechtecksfunktion:

Remove[f, p]

f[1, x_] := x - Floor[x];
p[1] = 
        Plot[f[1, x],  {x, -2.5, 2.5}, 
          AspectRatio -> 1/5];

f[2, x_] := f[1, x - 0.5];
p[2] = 
        Plot[f[2, x],  {x, -2.5, 2.5}, 
          AspectRatio -> 1/5];

f[3, x_] := f[2, -x];
p[3] = 
        Plot[f[3, x],  {x, -2.5, 2.5}, 
          AspectRatio -> 1/5];

f[4, x_] := f[3, x + 0.5];
p[4] = 
        Plot[f[4, x],  {x, -2.5, 2.5}, 
          AspectRatio -> 1/5];

f[5, x_] := 2 f[4, 1/2 x];
p[5] = 
        Plot[f[5, x],  {x, -2.5, 2.5}, 
          AspectRatio -> 2/5];

f[6, x_] := f[5, x] - 1;
p[6] = 
        Plot[f[6, x],  {x, -2.5, 2.5}, 
          AspectRatio -> 2/5];

Show[p[6], p[1]];

f[7, x_] := f[1, x] + f[6, x]; 
    p[7] = Plot[f[7, x],  {x, -2.5, 2.5}, 
        AspectRatio -> 1/5];

f[8, x_] := 2 f[7, x] - 1;
p[8] = 
        Plot[f[8, x],  {x, -4.5, 4.5}, 
          PlotStyle -> Thickness[0.01], 
          AspectRatio -> 2/5 ];

6. Quadratische Ungleichungen

Wo ist  -8 - 5 x + 2 (x^2) ≥ 5 + x  ?

Solve[
      2  x^2 - 5  x - 8  ==  x  +  5,  {x}]

Solve[2  x^2 - 5  x - 8  ==  x  +  5,  {x}] // 
      N

Plot[{2  x^2 - 5  x - 8, x  +  5},  {x, -3, 6}];

2  x^2 - 5  x - 8  >=  x  +  5  /.  x -> 0

2  x^2 - 5  x - 8  >=  x  +  5  /.  x -> -2

2  x^2 - 5  x - 8  >=  x  +  5  /.  x -> 5